Разложение квадратного трехчлена. Разложение квадратного трёхчлена на множители

⁰

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2 .

Решение

Выносим x 2 за скобки:
.
2 + x - 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .

Ответ

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .

Решение

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3 .

Решение

Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 - 20 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) .

;
.

Ответ

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) :

;

;
.

Ответ

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1 . Делим многочлен на x - (-1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;

;
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504 ;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120 ;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60 ;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24 ;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0 ;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0 ;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0 ;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60 .

Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Ответ

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли еще один корень x 2 = -1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид.

Разложение квадратных трехчленов на множители относится к школьным заданиям, с которыми рано или поздно сталкивается каждый. Как его выполнить? Какова формула разложения квадратного трехчлена на множители? Разберемся пошагово с помощью примеров.

Общая формула

Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами - нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.

Общая формула выглядит так: lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритм выполнения задания

Для того чтобы выполнить разложение квадратных трехчленов на множители, нужно знать теорему Вита, иметь под рукой программу для решения, уметь находить решение графически или искать корни уравнения второй степени через формулу дискриминанта. Если дан квадратный трехчлен и его надо разложить на множители, алгоритм действий такой:

1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.

2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).

3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни - целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.

4) Подставить значение х в выражение (1).

5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.

Примеры

Окончательно понять, как выполняется это задание, позволяет практика. Иллюстрируют разложение на множители квадратного трехчлена примеры:

необходимо разложить выражение:

Прибегнем к нашему алгоритму:

1) х 2 -17х+32=0

2) подобные слагаемые сведены

3) по формуле Виета найти корни для этого примера сложно, потому лучше воспользоваться выражением для дискриминанта:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Подставим найденные нами корни в основную формулу для разложения:

(х-2,155) * (х-14,845)

5) Тогда ответ будет таким:

х 2 -17х+32=(х-2,155)(х-14,845)

Проверим, соответствуют ли найденные дискриминантом решения формулам Виета:

14,845 . 2,155=32

Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.

Аналогично разложим 12х 2 +7х-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337) 1/2

В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х 2 +4х+9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.

D=-20

Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 , поскольку (-20) 1/2 =2i*5 1/2 .

Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.

Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х 2 -14х+7.

Имеем уравнение 23х 2 -14х+7 =0

D=-448

Значит, корни 14+21,166i и 14-21,166i. Ответ будет такой:

23х 2 -14х+7 =23(х-14-21,166i )*(х-14+21,166i ).

Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.

Пусть нужно разложить квадратное уравнение х 2 -32х+255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.

x 1 =15

x 2 =17

Значит х 2 -32х+255 =(х-15)(х-17).

На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение - квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

А мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Поскольку - корни уравнения, то - это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2+bx+c, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а не равно нулю.
Собственно, первое что нам нужно знать, чтобы разложить злополучный трехчлен на множители – теорема. Выглядит она следующим образом: “Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Конечно, существует и доказательство этой теоремы, но оно требует некоторых теоретических знаний (при вынесении за скобки в многочлене ax^2+bx+c множителя а получаем ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). По теореме Виетта x1+x2=-(b/a), х1*х2=с/а, следовательно b/a=-(x1+x2), с/а=х1*х2. значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значит, ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Иногда учителя заставляют учить доказательство, но если оно не востребовано, советую просто запомнить итоговую формулу.

2 шаг

Возьмем как пример трехчлен 3x^2-24x+21. Первое, что нам нужно сделать – приравнять трехчлен к нулю: 3x^2-24x+21=0. Корни полученного квадратного уравнения и будут корнями трехчлена, соответственно.

3 шаг

Решим уравнение 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Итак, решаем. Кто не знает как решать квадратные уравнения, смотрите в мою инструкцию с 2-мя способами их решения на примере этого же уравнения. Получились корни х1=7, х2=1.

4 шаг

Теперь, когда у нас есть корни трехчлена, можно смело подставлять их в формулу =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
получаем:3x^2-24x+21=3(х-7)(х-1)
Можно избавиться от члена а, внеся его в скобки: 3x^2-24x+21=(х-7)(х*3-1*3)
в итоге получаем: 3x^2-24x+21=(х-7)(3х-3). Примечание: каждый из полученных множителей ((х-7), (3х-3) являются многочленами первой степени. Вот и все разложение =) Если сомневаетесь в полученном ответе, всегда можно его проверить, перемножив скобки.

5 шаг

Проверка решения. 3x^2-24x+21=3(х-7)(х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Теперь мы точно знаем, что наше решение верно! Надеюсь, моя инструкция кому-нибудь поможет =) Удачи в учебе!

В нашем случае в уравнении D >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

Задача №1

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Для решения используем теорему Виета:

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .