Урок по математике «Решение задач арифметическим способом. Арифметический способ решения текстовых задач по математике

Cтраница 1

Арифметический метод - сумма амортизационных отчислений ежегодно уменьшается по арифметическому ряду.  

Арифметический метод контроля включает подсчет контрольных сумм по строкам и столбцам документов, имеющих табличную форму, контроль по формулам, признакам делимости или четности, балансовые методы, повторный ввод и т.п. Для предотвращения случайного или намеренного искажения информации служат и организационные, и специальные мероприятия.  

Арифметический метод решения задачи является чисто синтетическим: от одного известного факта он переходит к другому до тех пор, пока желанная цель не будет достигнута. Алгебраический же метод решения по своей природе аналитический: он начинает с конца и, обозначив цель поиска условным символом, устремляется к началу и влечет за собой свою жертву-инкогнито до тех пор, пока не выходит на ослепительный свет известных фактов, срывает с нее маску и говорит: Я тебя знаю.  

Примером использования арифметических методов для решения сравнительно сложных математических задач может служить численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитическим решением дифференциального уравнения является уравнение, выражающее зависимую переменную в виде функции от независимой переменной; численное же решение представляется в виде таблицы, включающей значения независимой переменной и соответствующие значения зависимой переменной в требуемом диапазоне.  

Подобные задачи арифметическим методом уже решались учащимися на уроках математики, что и следует использовать, особенно в начале изучения темы. Заканчивается раздел решением задач с использованием понятия о средней скорости движения.  

Простые проблемы можно решать с помощью арифметических методов, по мере усложнения проблем для их решения должны использоваться более сложные методы: регрессия, матричная алгебра, дифференциальные уравнения. За некоторой границей сложности математическую обработку данных нецелесообразно или вообще невозможно вести вручную - ее необходимо производить на ЭВМ. Роль человека при этом коренным образом меняется. Не участвуя в прямых вычислениях, человек занят в этом случае вопросами определения структуры решения проблемы вводом исходных данных и рассмотрением полученных результатов.  

Иногда считают, что отличительная черта арифметического метода - отсутствие буквенных выражений. Дело как раз не в буквенных выражениях, а в том, что при этом методе не составляют и не решают уравнений.  

Арифметический метод хотя и обладает несколько меньшей точностью по сравнению с графическим, но зато более простой и удобный в практической работе.  

Здесь решаются задачи на составление кинематическ. Для решения этих задач применяется преимущественно формальный арифметический метод подсчета числа переменных параметров и условий связи, к-рыми определяется движение механизма.  

Результаты октав-ного анализа шума наносят на график нормировочных кривых шума, и наибольший номер кривой, превышенный уровнем шум-а в одной или нескольких октавных полосах, считается нормировочным индексом шума. Существует также арифметический метод нахождения этого индекса. В широкой практике предпочитают пользоваться оценкой шу-ч ма в дБА как более адекватной.  

В том же гармоническом осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее - числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.  

Его метод состоит в расположении сообщений длины N в порядке убывающих вероятностей. Этот ряд делится на две группы, по возможности с равными вероятностями. Если сообщение относится к первой группе, его первая двоичная цифра будет 0, в противном случае - единица. Эти группы аналогичным образом делятся на подгруппы примерно равной вероятности, и частная подгруппа определяет второй двоичный знак. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получатся подгруппы, содержащие только по одному сообщению. Легко видеть, что, за исключением незначительных отличий (в общем случае в последней цифре), это приводит к тем же результатам, что и при описанном выше арифметическом методе.  

Страницы:      1

Несмотря на то, что вычислительная деятельность вызывает интерес у детей, а самой проблеме отводится значительное место в программе обучения в детском саду, многие старшие дошкольники и даже младшие школьники (учащиеся 1--3-х классов) испытывают значительные трудности именно в решении арифметических задач. Около 20 % детей седьмого года жизни испытывают трудности в выборе арифметического действия, аргументации его. Эти дети, решая арифметические задачи, в выборе арифметического действия ориентируются в основном на внешние несущественные «псевдоматематические» связи и отношения между числовыми данными в условии задачи, а также между условием и вопросом задачи. Это проявляется прежде всего в непонимании ими обобщенного содержания понятий: «условие», «вопрос», «действие», а также знаков (+,-,=), в неумении правильно выбрать необходимый знак, арифметическое действие в том случае, когда заданное в условии конкретное отображение не соответствует арифметическому действию (прилетели, добавили, дороже -- сложение; улетели, взяли, дешевле -- вычитание). Более того, иногда отдельные воспитатели ориентируют детей именно на эти псевдоматематические связи. В таких ситуациях вычислительная деятельность формируется недостаточно осознанно (М. А. Бантова, Н. И. Моро, А. М. Пышкало, Е. А. Тарханова и др.).

Очевидно, основная причина невысокого уровня знаний детей заключается в самой сути того, что отличает вычислительную деятельность от счетной. Во время счета ребенок имеет дело с конкретными множествами (предметы, звуки, движения). Он видит, слышит, чувствует эти множества, имеет возможность практически действовать с ним (накладывать, прикладывать, непосредственно сравнивать). Что же касается вычислительной деятельности, то она связана с числами. А числа -- это абстрактные понятия. Вычислительная деятельность опирается на разные арифметические действия, которые также являются обобщенными, абстрагированными операциями с множествами.

Понимание самой простой арифметической задачи требует анализа ее содержания, выделения ее числовых данных, понимания отношений между ними и, конечно, самих действий, которые ребенок должен выполнить.

Дошкольникам особенно трудно понимать вопрос задачи, который отражает математическую сущность действий, хотя именно вопрос задачи направляет внимание ребенка на отношения между числовыми данными.

Обучение дошкольников решению арифметических задач подводит их к пониманию содержания арифметических действий (добавили -- сложили, уменьшили -- вычли). Это также возможно на определенном уровне развития аналитико-синтетической деятельности ребенка. Для того чтобы дети усвоили элементарные приемы вычислительной деятельности, необходима предварительная работа, направленная на овладение знаниями об отношениях между смежными числами натурального ряда, о составе числа, счете группами и т. д.

Особое значение в формировании вычислительной деятельности приобретают четкая системность и поэтапность в работе.

Решить сложением (к трем прибавить один)». Дети делают вывод: «К кормушке прилетело четыре птички».

«В магазине было пять телевизоров, один из них продали. Сколько телевизоров осталось в магазине?» Решая эту задачу, воспитатель учит аргументировать свои действия так: было пять телевизоров, один продали, следовательно, их осталось на один меньше. Чтобы узнать, сколько телевизоров осталось, нужно от пяти отнять один и получится четыре.

Воспитатель формирует у детей представления о действиях сложения и вычитания, одновременно знакомит их со знаками «+» (прибавить, сложить), «-» (отнять, вычесть) и «=» (равно, получится).

Таким образом, ребенок постепенно от действий с конкретными множествами переходит к действиям с числами, т. е. решает арифметическую задачу.

Уже на втором-третьем занятии наряду с задачами-драматизапиями и задачами-иллюстрациями можно предлагать детям решать устные (текстовые) задачи. Этот этап работы тесно связан с использованием карточек с цифрами и знаками. Особенно полезны упражнения детей в самостоятельном составлении ими аналогичных задач. При этом воспитатель должен помнить, что основное заключается в нахождении не столько ответа (названия числа), сколько пути к нему. Так, дети решают задачу: «На участке детского сада в первый день посадили четыре дерева, а на следующий -- еще одно дерево. Сколько деревьев посадили за два дня?» Воспитатель учит ребенка мыслить во время решения задачи. Он спрашивает детей: «О чем идет речь в задаче?» -- «О том, что на площадке детского сада посадили деревья». -- «Сколько деревьев посадили в первый день?» -- «Четыре». -- «Сколько деревьев посадили во второй день?» -- «Одно дерево». -- «А что спрашивается в задаче?» -- «Сколько всего деревьев посадили на участке за два дня?» -- «Как можно узнать, сколько деревьев посадили на участке?» -- «К четырем прибавить один».

Воспитатель подводит детей к такому обобщению: чтобы к числу прибавить один (единицу), не надо пересчитывать все предметы, надо просто назвать следующее число. Когда к четырем прибавляем один, мы просто называем следующее за числом «четыре» число «пять». А когда надо вычесть, отнять один, следует назвать предыдущее число, стоящее перед ним. Таким образом, опираясь на имеющиеся у детей знания, воспитатель вооружает их приемами присчитывания (прибавления) к числу единицы и вычитания единицы. Ниже предлагаются несколько задач первого типа.

• 1. На ветке сидело пять воробьев. К ним прилетел еще один воробей. Сколько птичек стало на ветке?
• 2. Таня и Вова помогали маме. Таня почистила три картофелины, а Вова -- одну морковку. Сколько овощей почистили дети?
• 3. На одной клумбе расцвело пять тюльпанов, на другой -- один пион. Сколько цветов расцвело на обеих клумбах вместе?

Если с первых шагов обучения дети осознают необходимость, значение анализа простых задач, то позднее это поможет им в решении сложных математических задач. Активность умственной деятельности ребенка во многом зависит от умения воспитателя ставить вопросы, побуждать его мыслить. Так, воспитатель спрашивает у детей: «О чем следует узнать в задаче? Как можно ответить на вопрос? Почему ты считаешь, что надо сложить? Как ты прибавишь к четырем единицу?»

Следующий этап в работе связан с ознакомлением детей с новыми задачами (задачами второго типа) на отношения «больше -- меньше на несколько единиц». В этих задачах арифметические действия подсказаны в самом условии задачи. Отношение «больше на единицу» требует от ребенка увеличения, присчитывания, сложения. Выражение «больше (меньше) на единицу» дети уже усвоили в группах пятого-шестого годов жизни, сравнивая смежные числа. При этом акцентировать внимание детей на отдельных словах «больше», «меньше» и тем более ориентировать их на выбор арифметического действия только в зависимости от этих слов не рекомендуется. Позднее, при решении «непрямых, косвенных» задач возникает потребность переучивать детей, а это намного сложнее, чем научить правильно делать выбор арифметического действия. Ниже даются примерные задачи второго типа.

• 1. В Машину чашку с чаем мама положила две ложки сахара, а в большую чашку папы -- на одну ложку больше. Сколько сахара положила мама в чашку папы?
• 2. На станции стояли четыре пассажирских поезда, а товарных -- на один меньше. Сколько товарных поездов было на станции?
• 3. Дети собрали на огороде три ящика помидоров, а огурцов -- на один меньше. Сколько ящиков огурцов собрали дети?

В начале обучения дошкольникам предлагаются только. прямые задачи, в них и условие, и вопрос словно подсказывают, какое действие следует выполнить: сложение или вычитание.

Шестилетним детям необходимо предлагать сравнивать задачи разных типов, хотя это для них является сложным делом, поскольку дети не видят текста, а обе задачи необходимо удерживать в памяти. Основным критерием сравнения является вопрос. В вопросе подчеркивается, что нужно определить только количество второго множества, которое больше (меньше) на один, или общее количество (остаток, разницу). Арифметические действия одинаковые, а цель разная. Именно это и способствует развитию мышления детей. Воспитатель постепенно подводит их к этому пониманию.

Еще более важным и ответственным этапом в обучении детей решению арифметических задач является ознакомление их с третьим типом задач -- на разностное сравнение чисел. Задачи этого типа решаются только вычитанием. При ознакомлении детей с этим типом задач их внимание обращается на основное -- вопрос в задаче. Вопрос начинается со слов «на сколько?», т. е. всегда необходимо определить разницу, разностные отношения между числовыми данными. Воспитатель учит детей понимать отношения зависимости между числовыми данными. Анализ задачи должен быть более детальным. Во время анализа дети должны идти от вопроса к условию задачи. Следует объяснить, что в выборе арифметического действия основным всегда является вопрос задачи, от его содержания и формулировки зависит решение. Поэтому следует начинать с анализа вопроса. Сначала детям предлагают задачу без вопроса. Например: «На прогулку дети взяли четыре больших мяча и один маленький. Что это такое? Можно ли это назвать арифметической задачей?» -- обращается воспитатель к детям. «Нет, это только условие задачи», -- отвечают дети. «А теперь поставьте сами вопрос к этой задаче».

Следует подвести детей к тому, что к этому условию задачи можно поставить два вопроса:

• 1. Сколько всего мячей взяли на прогулку?
• 2. На сколько больше взяли больших мячей, чем маленьких?

В соответствии с первым вопросом следует выполнить сложение, а в соответствии со вторым -- вычитание. Это убеждает детей в том, что анализ задачи следует начинать с вопроса. Ход рассуждений может быть таким: чтобы узнать, сколько всего мячей взяли дети на прогулку, надо знать, сколько взяли больших и маленьких отдельно и найти их общее количество. Во втором случае надо найти, на сколько больше одних мячей, чем других, т. е. определить разницу. Разницу всегда находят вычитанием: от большего числа вычитают меньшее.

Итак, задачи третьего типа помогают воспитателю закрепить знания о структуре задачи и способствуют развитию у детей умения различать и находить соответствующее арифметическое действие.

На этих занятиях не механически, а более или менее осознанно дети выполняют действия, аргументируют выбор арифметического действия. Задачи этого типа также следует сравнивать с задачами первого и второго типов.

Вычислительная деятельность в дошкольном возрасте предполагает овладение детьми арифметическими действиями сложения и вычитания, относящимися к операционной системе математики и подчиняющимися особым закономерностям операционных действий.

Чтобы дети лучше запоминали числовые данные, используются карточки с цифрами, а несколько позже и знаками.

Вначале числовые данные в задачах лучше ограничить первыми пятью числами натурального ряда. Дети в таких случаях, как правило, легко находят ответ. Основная цель этих занятий -- научить анализировать задачу, ее структуру, понимать математическую сущность. Дети учатся выделять структурные компоненты задачи, числовые данные, аргументировать арифметические действия и т. д.

Особое внимание в этот период следует уделить обучению детей составлению и решению задач по иллюстрациям и числовым примерам.

Так, воспитатель обращается к детям: «Сейчас мы с вами будем составлять и решать задачи по картине». При этом привлекается внимание детей к картине, на которой изображена речка, на берегу играют пять детей, а двое детей в лодках плывут к берегу. Предлагается рассмотреть картину и ответить на вопрос: «Что нарисовано на картине? О чем хотел рассказать художник? Где играют дети? Сколько детей на берегу? Что делают эти дети? (Показывает на детей в лодке.) Сколько их? Когда они выйдут на берег, их станет больше или меньше на берегу? Составьте задачу по этой картинке».

Воспитатель вызывает двух-трех детей и выслушивает составленные ими задачи. Потом выбирает наиболее удачную задачу, и все вместе решают ее. «О чем идет речь в задаче? Сколько детей играло на берегу? Сколько детей приплыло в лодке? Что надо сделать, чтобы решить задачу? Как к числу "пять" можно прибавить число "два"?» -- 5+1 + 1=7.

Воспитатель следит за тем, чтобы дети правильно формулировали арифметическое действие и объясняли прием присчитывания по единице.

Аналогично составляют и решают другие задачи. В конце занятия воспитатель спрашивает, чем занимались дети, уточняет их ответы: «Правильно, мы учились составлять и решать задачи, выбирать соответствующее действие, прибавлять и вычитать число 2 путем присчитывания и отсчитывания по единице».

Примерно так же дети составляют и решают задачи по числовому примеру. Составление и решение арифметических задач по числовому примеру требует еще более сложной умственной деятельности, поскольку содержание задачи не может быть произвольным, а опирается на числовой пример как на схему. В начале обращается внимание детей на само действие. В соответствии с действием (сложение или вычитание) составляется условие и вопрос в задаче. Можно усложнить цель -- не по каждому числовому примеру составляется новая задача, а иногда по одному и тому же примеру составляется несколько задач разных типов. Это, естественно, значительно сложнее, зато наиболее эффективно для умственного развития ребенка.

Так, по числовому примеру 4 + 2 дети составляют и решают две задачи: первую -- на нахождение суммы (сколько всего), вторую -- на отношение «больше на несколько единиц» (на 2). При этом ребенок должен осознавать отношения и зависимости между числовыми данными.

На основе примера 4 -- 2 дети должны составить три задачи: первого, второго и третьего типа. Сначала воспитатель помогает детям вопросами, предложениями: «Сейчас мы составим задачу, где будут слова "на 2 меньше", а потом по этому самому примеру составим задачу, где не будет таких слов, и нужно будет определить разницу в количестве (сколько осталось)». А потом воспитатель спрашивает: «А можно ли на основе этого примера составить новую, совсем другую задачу?» Если дети сами не могут сориентироваться, то воспитатель подсказывает им: «Составьте задачу, где вопрос начинался бы со слов "на сколько больше (меньше)"».

Такие занятия с детьми помогают им понять основное: арифметические задачи по своему содержанию могут быть разными, а математическое выражение (решение) -- одинаковым. В этот период обучения большое значение имеет «развернутый» способ вычисления, активизирующий умственную деятельность ребенка. Накануне воспитатель повторяет с детьми количественный состав числа из единиц и предлагает прибавлять число 2 не сразу, а присчитывать сначала 1, потом еще 1. Включение развернутого способа в вычислительную деятельность обеспечивает развитие логического мышления, способствуя при этом усвоению сущности этой деятельности.

После того как у детей сформируются представления и некоторые понятия об арифметической задаче, отношениях между числовыми данными, между условием и вопросом задачи, можно переходить к следующему этапу в обучении -- ознакомлению их с преобразованием прямых задач в обратные. Это даст возможность еще глубже усвоить математическую формулу задачи, специфику каждого типа задач. Воспитатель объясняет детям, что каждую простую арифметическую задачу можно преобразовать в новую, если искомое задачи взять за одно из данных новой задачи, а одно из данных преобразованной задачи считать искомым в новой задаче.

Такие задачи, где одно из данных первой является искомым во второй, а искомое второй задачи входит в данные первой, называются взаимно-обратными задачами.

Итак, из каждой прямой арифметической задачи путем преобразования можно сделать 2 обратные задачи.

Если дети при решении задач с первых шагов будут ориентироваться на существенные связи и отношения, то слова «стало», осталось» и другие не дезориентируют их. Независимо от этих слов дети правильно выбирают арифметическое действие. Более того, именно на этом этапе педагог должен обратить внимание детей на независимость выбора решения задачи от отдельных слов и выражений.

Ознакомление с прямыми и обратными задачами повышает познавательную активность детей, развивает у них способность логически мыслить. При решении любых задач дети должны исходить из вопроса задачи. Взрослый учит ребенка аргументировать свои действия, в данном случае аргументировать выбор арифметического действия. Ход мыслей при этом может идти по схеме: «Чтобы узнать... нам необходимо... потому что...» и т. д.

В группе седьмого года жизни детей можно будет ознакомить с новыми приемами вычислений -- на основе счета группами. Дети, научившись считать парами, тройками, могут сразу прибавлять число 2, а потом и 3. Однако спешить с этим не следует. Важно, чтобы у детей сформировались прочные, достаточно осознанные умения и навыки присчитывания и отсчитывания по единице.

В современных исследованиях по методике математического развития есть некоторые рекомендации к формированию у детей обобщенных способов решения арифметических задач. Одним из таких способов является решение задач по схеме-формуле. Это положение обосновано и экспериментально проверено в исследованиях Н. И. Непомнящей, Л. П. Клюевой, Е. А. Тархановой, Р. Л. Непомнящей. Предложенная авторами формула является схематическим изображением отношения части и целого. Работой, предшествующей этому этапу, является практическое деление предмета (круга, квадрата, полоски бумаги) на части. То, что дети делают практически, воспитатель потом изображает в схеме-формуле (рис. 29). При этом он рассуждает так: «Если круг поделить пополам, то получится две половины. Если эти половины сложить, то образуется снова целый круг. Если от целого круга отнять одну часть, то получим другую часть этого круга. А теперь попробуем, прежде чем решать некоторые задачи (подчеркивается слово «некоторые»), определить, на что ориентирует нас вопрос в задаче: на нахождение части или целого. Неизвестное целое всегда находится сложением частей, а часть целого -- вычитанием».

Например: «Для составления узора девочка взяла 4 синих и 3 красных кружочка. Из скольких кружочков девочка составила узор?» Дети рассуждают так: «По условию задачи рисунок составлен из синих и красных кружочков. Это части. Надо узнать, из скольких кружочков составлен узор. Это целое. Целое всегда находится сложением частей (4 + 3 =)».

Для детей высокого уровня интеллектуального развития можно предлагать проблемные (косвенные) задачи. Ознакомление детей седьмого года жизни с задачами такого типа возможно и имеет большое значение для их умственного развития. На этой основе в дальнейшем будут формироваться умения осуществлять анализ арифметической задачи, объяснять ход решения, выбор арифметического действия. Косвенные задачи отличаются тем, что в них оба числа характеризуют один и тот же объект, а вопрос направлен на определение количества другого объекта. Трудности в решении таких задач определяются самой структурой и содержанием задачи. Как правило, в этих задачах есть слова, которые дезориентируют ребенка при выборе арифметического действия. Несмотря на то, что в условии задачи есть слова «больше», «прилетели», «старше» и др., следует выполнять обратное этому действие -- вычитание. Для того чтобы ребенок правильно сориентировался, воспитатель учит его более тщательно анализировать задачу. Чтобы выбрать арифметическое действие, ребенок должен уметь рассуждать, логически мыслить. Пример косвенной задачи: «В корзине лежало 5 грибков, что на 2 грибочка больше, чем их лежит на столе. Сколько грибочков лежит на столе?» Часто дети, ориентируясь на несущественные признаки, а именно на отдельные слова (в данном случае слово «больше»), спешат выполнить действие сложения, допуская грубую математическую ошибку.

Воспитатель подчеркивает особенности таких задач, предлагая вместе порассуждать так: «В условии задачи оба числа характеризуют один объект -- количество грибочков в корзине. В ней 5 грибочков и в ней же на 2 больше, чем на столе. Необходимо узнать, сколько грибочков на столе. Если в корзине на 2 больше, то на столе лежит на 2 грибочка меньше. Чтобы узнать, сколько их на столе, следует из 5 вычесть 2 (5-2 = ?)».

При составлении задач воспитатель должен помнить о том, что важно разнообразить формулировки в условии и вопросе задачи: насколько выше, тяжелее, дороже и т. д.

Наряду с решением арифметических задач детям предлагаются арифметические примеры, которые способствуют закреплению навыков вычислительной деятельности. При этом детей знакомят с некоторыми законами сложения.

Известно, что всегда легче выполнить сложение, если второе слагаемое меньше первого. Однако не всегда именно так предлагается в примере, может быть и наоборот -- первое слагаемое меньше, а второе больше (например, 2 + 1 = 1). В таком случае есть необходимость познакомить детей с переместительным законом сложения: 2 + 7 = 7 + 2. Сначала воспитатель показывает это на конкретных примерах, например на брусках. При этом он актуализирует знания детей о составе числа из двух меньших. Дети хорошо усвоили, что число 9 можно образовать (составить) из двух меньших чисел: 2 и 7 или, что тоже самое, 7 и 2. На основе многочисленных примеров с наглядным материалом дети делают вывод-обобщение: действие сложения выполнять легче, если к большему числу прибавить меньшее, а результат не изменится, если переставить эти числа, поменять их местами.

На протяжении учебного года достаточно провести 10--12 занятий по обучению детей решению арифметических задач и примеров (табл. 1).

Ниже представляем программное содержание этих занятий.

• 1. Ознакомить с понятием «задача». Условие и вопрос в задаче. Задачи-драматизации, задачи-иллюстрации первого типа. Числа в пределах 5, одно из чисел -- 1.
• 2. Закрепить понятие о структуре задачи. Решение задач с помощью картинок. Задачи второго типа. Знаки «+», «--», «=». Устные задачи. Числа в пределах 5, одно из чисел -- 1. Обучение приемам вычисления на основе понимания отношений между смежными числами.
• 3. Сравнение задач первого и второго типа. Самостоятельное составление задач по картинке, по числовым данным и по условию.
• 4. Задачи на сложение и вычитание чисел более 1 (2 = 1 + 1; 3=1 + 1 + 1). Задачи третьего типа -- на отношения между числами. Сравнение задач всех трех типов.
• 5. Взаимно-обратные задачи. Преобразование арифметических задач. Составление задач по числовому примеру 4 + 2; 4 - 2 всех трех типов.
• 6. Ознакомление с арифметическими примерами. Формирование навыков вычислительной деятельности. Составление задач по числовому примеру.
• 7. Решение задач в пределах 10 на основании состава числа из двух меньших чисел. Умение аргументировать свои действия. Алгоритм рассуждения при решении задачи -- от вопроса к условию.
• 8. Решение задач по формуле. Логика рассуждения от вопроса к условию задачи.
• 9. Косвенные задачи. Проблемные задачи. Решение арифметических примеров.
• 10. Нестандартные задачи (в стихотворной форме, шутки и др.). Связь с измерением и временными отношениями.
• 11. Решение задач на сложение с опорой на переместительный закон сложения. Решение задач по формуле.
• 12. Решение задач первого, второго и третьего типа. Логика рассуждения при решении задач. Графическое изображение содержания задачи. псевдоматематический арифметический числовой дитя

Итак, программа воспитания в детском саду и методика математического развития большое внимание уделяют проблеме обучения вычислительной деятельности. Однако только в результате целенаправленной систематической работы у детей формируются достаточно прочные и осознанные знания и навыки в вычислительной деятельности, а это является важной предпосылкой в овладении математикой в школе.

Вопросы и задания

• 1. Раскройте специфику счетной и вычислительной деятельностей, обоснуйте связь счета и вычисления.
• 2. Проанализируйте несколько альтернативных программ (или программ разных лет издания) с точки зрения их ориентировки на уровень интеллектуального развития каждого ребенка.
• 3. Составьте перспективный план на один квартал по ознакомлению старших дошкольников с вычислительной деятельностью. На его примере докажите развивающий характер обучения.
• 4. Каково ваше отношение к методике поэтапного развития вычислительной деятельности у детей дошкольного возраста?

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1.1 Понятие текстовой задачи

1.2 Виды арифметических задач

1.3 Роль задачи в математике

1.4 Этапы решения текстовых задач и приемы их выполнения

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач

2.4 Задачи на проценты

2.5 Задачи на совместную работу

Заключение

Литература

Введение

Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума. У.У. Сойер

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, т. е. развивает естественный язык. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, т.е, формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Текстовые задачи -- традиционно трудный, для значительной части школьников, материал. В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения, выполнить проверку полученного результата.

Цель моей выпускной работы -- исследование методики обучения решению текстовых задач арифметическим способом, рассмотреть структуру текстовой задачи, этапы решения задач арифметическим методом, показать трудности при решении задач, умение преодолевать эти трудности, применение арифметического способа решения текстовых задач из личной практики.

Объектом изучения является учебно-воспитательный процесс на уроках математики.

Задачи работы:

– проанализировать психолого-педагогическую литературу по данной теме; изучить научно-методическую литературу, направленную на обучение решению текстовых задач;

– рассмотреть характеристику текстовой задачи и методику работы с ней;

– показать применение арифметического способа при решении текстовых задач.

Структура работы. Моя работа состоит из введения, глав “Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней“ и “Обучение школьников приемам решения текстовых задач арифметическим способом“, заключения. В первой главе я рассмотрела понятие текстовой задачи, типы задач, что значит решить задачу, этапы процесса решения задачи арифметическими методами.Во второй главе я рассмотрела решение арифметическим способом текстовых задач на примере задач на движение, на нахождение дроби от числа и числа по величине его дроби, задач на процентные расчеты, на совместную работу; задачи, решаемые с помощью таблиц, среднее арифметическое в задачах. Старалась показать методику обучения учащихся решению текстовых задач, их место в учебно-воспитательном процессе на уроке. В своей работе я хочу показать конкретное применение арифметических способов решения текстовых задач, используя свой личный опыт.

По данной проблеме достаточно литературы. Проанализируя некоторые из них, хотелось бы отметить книгу С. Лукьяновой «Розв"язування текстових задач арифметичними способами». В книге рассматриваются разные арифметические способы решения текстовых задач и предлагаются оригинальные методики обучения этому учащихся 5-6-х классов. Автор рассматривает около 200 задач разных уровней сложности, к большинству которых предложено решение (к некоторым - несколько способов), каждое из которых реализуется только с помощью арифметических действий. В книге «Обучение решению текстовых задач. Книга для учителя», автор Шевкин А.В., подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям математического образования, о необходимости отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения. В учебном пособии Фридмана Л.М. «Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика» говорится, что при решении задач различными методами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач и есть целый ряд задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре, хотя не представляют трудности для арифметики.

В работе использовала материалы учебно-методической газеты «Математика» №23 - 2005 (Издательский дом «Первое сентября»), «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» (М.Е.Козина, М.Е.Фадеева - Волгоград, 2008г.), Методические рекомендации для 5-6 классов, Дидактические материалы для 5-6 классов (М.К.Потапов, А.В. Шевкин) и другие.

Глава I. Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней

решение текстовый задача арифметический

Математика - это орудие для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений.

Работе с текстовыми задачами следует уделить достаточно много времени, обращая внимание детей на поиск и сравнение различных способов решения задачи, построение математических моделей, грамотность изложения собственных рассуждений при решении задач.

1.1 Понятие текстовой задачи

Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Эти задачи сформулированы на естественном языке, поэтому их называют текстовыми. В них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий, поэтому их часто называют сюжетными. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче и учитывая их» - отметил Л.М. Фридман в своей работе «Сюжетные задачи по математике».

Текстовая задача -- есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. Текстовые задачи могут быть абстрактного содержания, когда в тексте зависимости между числами описаны словесно (Найти два числа, если одно из них на 18 больше другого, а их сумма равна 80) или с определенным сюжетом (Билет для входа на стадион стоил 160 руб. После того, как плату за вход снизили, количество зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоит билет после снижения платы за вход?).

Каждая задача -- это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача -- это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ним определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса), причем условия и требования взаимосвязаны.

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи -- это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найдите скорость велосипедистов или « Сколько километров проходил турист в каждый из трех дней?»). Требований в задаче может быть несколько.

Рассмотрим задачу: Свитер,шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

Объекты задачи: шарф, шапка, свитер. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения: Свитер, шапка, шарф связаны из 1200 г шерсти.

На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования: Сколько шерсти израсходовали на свитер?

Сколько шерсти израсходовали на шапку?

Сколько шерсти израсходовали на шарф?

В задаче три неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины называется искомым.

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или все условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть, такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Сколько литров воды в каждой бочке, если в первой на 48 л больше, чем в другой?» - недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы решить эту задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Понимая роль задачи и ее место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и четко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

1.2 Виды арифметических задач

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, называется составной.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики -- понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и ее составными частями. В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения ее в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи.

1.3 Роль задачи в математике

Значительное место в математике занимают текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, используются в целях уяснения доли, помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.

Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т. п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия имеют корни в реальной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Содержание многих задач отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Задачи являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями. Решение задач -- упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но ипрокладывает пути к глубокому пониманию ее. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи дает импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углубленному изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира. Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей положительные качества характера и развивает их эстетически.

1.4 Этапы решения тестовых задач и приемы их выполнения

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи, процесс нахождения результата. Причем этот процесс рассматривается двояко: метод нахождения результата и последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод. То есть в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу. Основными методами решения текстовых задач является арифметический и алгебраический. Решить задачу арифметическим способом -- это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Решение задач -- это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Рассмотрим пример: «Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот отработав 7 месяцев, захотел уйти и попросил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?».

Решение задачи: работник не получил 12 -- 5 = 7 (руб) за 12 - 7 = 5(месяцев),

поэтому за один месяц ему платили 7: 5 = 1,4 (руб),

а за 7 месяцев он получил 7 * 1,4 = 9,8 (руб),

тогда кафтан стоил 9,8 -- 5 = 4,8 (руб).

Ответ: стоимость кафтана 4,8 рублей.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

В расширенном виде решение текстовой задачи можно представить как последовательность таких этапов:

1) анализ задачи;

2) построение модели;

3) поиск способа решения (составление плана решения);

4) запись решения;

5) проверка решения;

6) исследование задачи и ее решения;

7) формулирование ответа;

8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Чаще всего реализуется только четыре этапа: анализ задачи, составление плана решения, запись решения, формулирование ответа, а на всех этапах останавливаются только при решении сложных, проблемных задач или задач, которые имеют определенные обобщающе -- теоретическое значение.

Анализ задачи всегда направлен на ее требование.

Цели этапа: - понять ситуацию, описанную в задаче;

Выделить условия и требования;

Назвать известные и искомые объекты;

Выделить все отношения (зависимости) между ними.

Чтобы разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования, нужно задать специальные вопросы:

1. О чем задача?

2. Что требуется найти в задаче?

3. Что означают те или иные слова в тексте задачи?

4. Что в задаче неизвестно?

5. Что является искомым?

Рассмотрим пример: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4км/ч, а скорость второго 5км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Анализ задачи: 1) О чем эта задача?

Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

2) Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т. е. второй не догонит первого.

3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?

В задаче известно: а) мальчики идут в одном направлении;

б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2км;

в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4км/ч;

г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5км/ч;

д) скорость, с которой бежит собака, 8км/ч;

е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2км до момента встречи.

4) Что в задаче неизвестно?

В задаче неизвестно: а) время, за которое второй мальчик догонит первого (время движения всех его участников);

б) с какой скоростью происходит сближение мальчиков;

в) расстояние, которое пробежала собака (это требуется узнать в задаче).

5) Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Искомым является значение величины -- расстояние, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи.

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает прием -- перефразировка текста задачи. То есть из текста задачи отбрасывается все лишнее (не существенное), а описания некоторых понятий заменяют соответствующими терминами и наоборот заменяют некоторые термины описанием содержания соответствующих понятий.

Перефразировка текста задачи -- преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Для удобства понимания задачи можно ее записать в виде таблицы или схематического чертежа. И таблица и схематический чертеж являются вспомогательными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения. После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое.

Поиск плана решения задачи

Цели этапа: установить связь между данными и исходными объектами;

наметить последовательность действий.

План решения задачи -- это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов. При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т. д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т. д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке. Разбор по тексту задачи: « На поезде, который шел со скоростью 56км/ч, турист проехал 6ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Рассуждения от данных к вопросу: известно: 6ч турист ехал на поезде;

скорость поезда 56км/ч.

По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6ч (скорость умножить на время). Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно (пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза)). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можно найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути.

Итак действия: 1) расстояние,которое турист проехал на поезде;

2) расстояние, которое ему осталось проехать; . 3) весь путь.

Рассуждение от вопроса к данным: В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. Значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось проехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь.

Осуществление плана решения задачи:

Цель этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решающих арифметическим способом, используются следующие приемы:

Запись по действиям(с пояснением, без пояснения, с вопросами);

Запись в виде выражения.

а) Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию: 1) 56*6 = 336(км) -- турист проехал за 6ч.

2) 336*4 = 1344(км) -- осталось проехать туристу;

3) 336 + 1344 = 1680(км) -- должен был проехать турист.

Если пояснения даются в устной форме (или совсем не даются), то запись будет следующей: 1) 56 * 6 = 336(км);

2) 336 * 4 = 1344(км);

3) 336 + 1344 = 1680(км)

б) Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько километров турист проехал на поезде?

56 * 6 = 336(км)

2) Сколько километров осталось проехать туристу?

336 * 4 = 1344(км)

3) Сколько километров турист должен был проехать?

336 + 1344 = 1680(км)

Проверка решения задачи:

Цель этапа: установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи. Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же результату, то задача решена верно.

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач.

На основании похожести по математическому смыслу и взаимозаменяемости разных приемов решения все арифметические способы можно объединить в такие группы:

1) способ приведения к единице, приведение к общей мере, обратного приведения к единице, способ отношений;

2) способ решения задач с «конца»;

3) способ исключения неизвестных (замена одного неизвестного другим, сравнение неизвестных, сравнение данных, сравнение двух условий вычитанием, объединение двух условий в одно); способ предположения;

4) пропорциональное деление, подобие или нахождение частей;

5) способ преобразования одной задачи в другую (разложение сложной задачи на простые, подготовительные; приведение неизвестных к таким значениям, для которых становится известным их отношение; прием определения произвольного числа для одной из неизвестных величин).

Кроме названных способов целесообразно рассматривать еще способ среднего арифметического, метод излишек, способ перестановки известного и неизвестного, способ «фальшивых» правил.

Посколько обычно невозможно наперед определить, какой из способов является найрациональным, предвидеть, какой их них приведет к простейшему и самому понятному для ученика решению, то учащихся стоит познакомить с разными способами и давать им возможность самим выбирать, какой из них применить при решении конкретной задачи.

Способ исключения неизвестных

Этот способ используется, когда в задаче несколько неизвестных. Такую задачу можно решить с помощью одного из пяти приемов: 1) замена одного неизвестного другим; 2) сравнение неизвестных; 3) сравнение двух условий вычитанием; 4) сравнение данных; 5) объединение нескольких условий в одну.

В результате применения одного из перечисленных приемов вместо нескольких неизвестных остается одно, которое можно найти. Вычислив его, используют данные в условии зависимости для нахождения других неизвестных.

Остановимся детальнее на рассмотрении некоторых из приемов.

1. Замена одного неизвестного другим

Название приема раскрывает его идею: на основании зависимостей (кратных или разностных), какие даны по условию задачи, необходимо выразить все неизвестные через одно из них.

Задача. У Сергея и Андрея всего 126 марок. У Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея. Сколько марок было у каждого из мальчиков?

Краткая запись условия:

Сергей -- ? марок, на 14 марок больше

Андрей -- ? марок

Всего -- 126 марок

Решение 1.

(замена большего неизвестного меньшим)

1) Пусть у Сергея было столько марок, как и у Андрея. Тогда общее количество марок было бы 126 -- 14 = 112 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Андрея сначало: 112: 2 = 56 (марок).

3) Учитывая, что у Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея, получаем: 56 + 14 = 70 (марок).

Решение 2.

(замена меньшего неизвестного большим)

1) Пусть у Андрея было столько же марок, как и у Сергея. Тогда общее количество марок было бы 126 + 14 = 140 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Сергея сначало: 140: 2 = 70 (марок).

3) Учитывая, что у Андрея было на 14 марок меньше, чем у Сергея, получим: 70 -- 14 = 56 (марок).

Ответ: У Сергея было 70 марок, а у Андрея -- 56 марок.

Для наилучшего усвоения учащимися способа замены меньшего неизвестного большим перед его рассмотрением необходимо выяснить с учащимися такой факт:если число А больше числа В на С единиц, то чтобы сравнить числа А и В необходимо:

а) из числа А вычесть число С (тогда оба числа равны числу В);

б) к числу В прибавить число С (тогда оба числа равны числу А).

Умение учащихся заменять большее неизвестное меньшим, и наоборот, в дальнейшем способствует развитию умений выбирать неизвестное и выражать через него другие величины при составлении уравнения.

2. Сравнение неизвестных

Задача. На четырех полках стояло 188 книг. На второй полке книг было на 16 меньше, чем на первой, на третьей -- на 8 больше, чем на второй, а на четвертой -- на 12 меньше, чем на третьей полке. Сколько книг на каждой полке?

Анализ задачи

Для лучшего осознания зависимостей между четырьмя неизвестными величинами (количеством книг на каждой полке) используем схему:

I _________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнивая отрезки, которые схематически изображают количество книг на каждой полке, приходим к таким выводам: книг на первой полке на 16 больше, чем на второй; на третьей на 8 больше, чем на второй; на четвертой -- на 12 -- 8 = 4 (книг) меньше, чем на второй. Следовательно, задачу можно решить, сравнив количество книг на каждой полке. Для этого снимем с первой полки 16 книг, с третьей -- 8 книг и поставим на четвертую полку 4 книги. Тогда на всех полках будет одинаковое количество книг, а именно -- как на второй было сначало.

1) Сколько книг стоит на всех полках после описанных в анализе задачи операций?

188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книг)

2) Сколько книг было на второй полке?

168: 4 = 42 (книг)

3) Сколько книг было на первой полке?

42 + 16 = 58 (книг)

4) Сколько книг было на третьей полке?

42 + 8 = 50 (книг)

5) Сколько книг было на четвертой полке?

50 -- 12 = 38 (книг)

Ответ: На каждой из четырех полок было 58, 42, 50 и 38 книг.

Замечание. Можно предложить учащимся решить эту задачу другими способами, если сравнивать неизвестные количество книг, которые стояли на первой, или на второй, или на четвертой полках.

3. Сравнение двух условий вычитанием

В сюжет задачи, которая решается этим приемом, часто входят две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество работников и выполненная ими работа и т. п.). В условии дается два значения одной величины и разность двух пропорциональных к ним числовых значений другой величины.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 4кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 500 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

4кг ап. и 3кг бан. - 500 руб.

1) Сравним стоимость двух покупок. И в первый раз, и во второй раз покупали одинаковое количество апельсинов по одной и той же цене. Первый раз заплатили больше потому, что купили больше бананов. Найдем, на сколько килограммов бананов было куплено больше в первый раз: 5 -- 3 = 2 (кг).

2) Найдем, на сколько больше заплатили первый раз, чем во второй (то есть узнаем, сколько стоят 2кг бананов): 620 -- 500 = 120 (руб.).

3) Найдем цену 1кг бананов: 120: 2 = 60 (руб.).

4) Зная стоимость первой и второй покупок, можем найти цену 1кг апельсинов. Для этого сначало найдем стоимость купленных бананов, потом стоимость апельсинов, а потом цену 1кг. Имеем: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, а цена 1кг бананов -- 60 руб.

4. Сравнение данных

Применение данного приема дает возможность сравнить данные и применить способ вычитания. Сравнивать значения данных можно:

1) с помощью умножения (сравнивая их с наименьшим общим кратным);

2) с помощью деления (сравнивая их с наибольшим общим делителем).

Покажем это на примере.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 6кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 660 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

6кг ап. и 3кг бан. - 660 руб.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наименьшим общим кратным: НОК(4;6) = 12.

Решение1.

1) Увеличим количество купленных фруктов и их стоимость в первом случае в 3 раза, а во втором -- в 2 раза. Получим такую краткую запись условия:

12кг ап. и 15кг бан. - 1860 руб,

12кг ап. и 6кг бан. - 1320 руб.

2) Узнаем, на сколько больше бананов купили первый раз: 15- 6 = 9(кг).

3) Сколько стоит 9кг бананов? 1860 -- 1320 = 540 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 540: 9 = 60(руб).

5) Найдем стоимость 3кг бананов: 60*3 = 180(руб).

6) Найдем стоимость 6кг апельсинов: 660 -- 180 = 480(руб).

7) Найдем цену 1кг апельсинов: 480: 6 = 80(руб).

Решение2.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наибольшим общим делителем: НОД (4; 6) = 2.

1) Чтобы уравнять количество апельсинов, купленных в первый раз и во второй раз, уменьшим количество купленного товара и его стоимость в первом случае в 2 раза, во втором -- в 3 раза. Получим задачу, которая имеет такую краткую запись условия

2кг ап. и 2,5кг бан. - 310 руб,

2кг ап. и 1кг бан. - 220 руб.

2) На сколько теперь бананов покупают больше: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).

3) Найдем, сколько стоит 1,5кг бананов: 310 -- 220 = 90 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 90: 1,5 = 60 (руб).

5) Найдем цену 1кг апельсинов: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, 1кг бананов -- 60 руб.

При решении задач с использованием приема сравнения данных можно не делать такого детального анализа и записей, а только сделать запись изменений, которые делали для сравнения, и записать их в виде таблицы.

5. Объединение нескольких условий в одно

Иногда избавиться от лишних неизвестных можно, объединив несколько условий в одно.

Задача. Туристы вышли из лагеря и сначала 4 часа шли пешком, а потом еще 4 часа ехали на велосипедах с некоторой постоянной скоростью и удалились от лагеря на 60км. Во второй раз они вышли из лагеря и сначала ехали на велосипедах с такой же скоростью 7 часов, а потом повернули в обратном направлении и, двигаясь пешком 4 часа, оказались на расстоянии 50км от лагеря. С какой скоростью туристы ехали на велосипедах?

В задаче два неизвестных: скорость, с какой туристы ехали на велосипедах, и скорость, с какой они шли пешком. Для того, чтобы исключить одно из них, можно объединить два условия в одно. Тогда расстояние, которое пройдут туристы за 4 часа, двигаясь вперед первый раз пешком, равно расстоянию, которое они прошли за 4 часа, двигаясь назад во второй раз. Поэтому на эти расстояния не обращаем внимания. Значит, расстояние, которое пройдут туристы за 4 + 7 =11 (час) на велосипедах, будет равно 50+60=110 (км).

Тогда скорость движения туристов на велосипедах: 110: 11 = 10 (км/ч).

Ответ.Скорость движения на велосипедах составляет 10 км/ч.

6. Способ допущения

Использование способа допущения при решении задач у большинства учащихся не вызывает трудностей. Поэтому, чтобы не возникало механического запоминания учащимися схемы шагов этого способа и непонимания сути выполненных действий на каждом из них, следует сначала показать учащимся способ проб («фальшивое правило» и «правило древних вавилонян»).

При использовании способа проб, в частности «фальшивого правила», одной из неизвестных величин дается («допускается») некоторое значение. Потом, используя все условия, находят значение другой величины. Полученное значение сверяют с тем, которое задано в условии. Если полученное значение отлично от данного в условии, то задаваемое первое значение не правильно и его необходимо увеличивать или уменьшать на 1, и снова находить значение другой величины. Так необходимо делать до тех пор, пока не получим значение другой величины такое, как в условии задачи.

Задача. У кассира есть 50 монет по 50копеек и по 10 копеек, всего на сумму 21 руб. Найдите, сколько было у кассира отдельно монет по 50к. и по 10к.

Решение1. (способ проб)

Воспользуемся правилом «древних» вавилонян. Предположим, что у кассира монет каждого номинала поровну, то есть по 25 штук. Тогда сумма денег будет 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 руб. Но в условии 21 руб, то есть больше, чем получили, на 21 грн -- 15 руб.= 6 руб. Значит, необходимо увеличивать количество монет по 50 копеек и уменьшать количество монет по 10 копеек, пока не получим в сумме 21 руб. Изменение количества монет и общую сумму запишем в таблицу.

Количество монет	Количество монет	Сумма денег	Сумма денег	Общая сумма	Меньше или больше, чем в условии
					Меньше на 6руб.
					Меньше на 5руб60к
					Как в условии

Как видно из таблицы, у кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Как выяснилось в решении 1, если бы у кассира было поровну монет по 50к. и по 10к., то всего у него было денег 15 руб. Легко заметить, что каждая замена монети 10к. на монету 50к. увеличивает общую сумму на 40к. Значит, необходимо найти, сколько необходимо сделать таких замен Для этого найдем сначала, на сколько денег необходимо увеличить общую сумму:

21 руб -- 15 руб. = 6 руб. = 600 к.

Найдем, сколько раз такую замену необходимо сделать: 600 к. : 40 к.=15.

Тогда по 50 к. будет 25 +15 =40 (монет), а монет по 10 к. останется
25 -- 15 = 10.

Проверкой подтверджается, что общая сумма денег в этом случае равна 21 руб.

Ответ: У кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Предложив учащимся самостоятельно выбирать разные значения количества монет по 50 копеек, необходимо подвести их к идее, которая наилучшим с точки зрения рациональности есть допущение, что у кассира были только монеты одного номинала (например, все 50 монет по 50 к. или все 50 монет по 10к. каждая). Благодаря чему, одно из неизвестных исключается и заменяется другим неизвестным.

7. Способ остатков

Этот способ имеет некоторую схожесть с размышлениями при решении задач способами проб и допущений. Способ остатков используем, решая задачи на движение в одном направлении, а именно -- когда необходимо найти время, за которое первый объект, который движется позади с большей скоростью, догонит второй объект, который имеет меньшую скорость движения. За 1 час первый объект приближается ко второму на расстояние, которое равно разности их скоростей, то есть равно «остатку» скорости, которая есть у него в сравнении со скоростью второго. Чтобы найти время, которое необходимо первому объекту для преодоления расстояния, которое было между ним и вторым на начало движения, следует определить, сколько раз «остаток» помещается в этом расстоянии.

Если абстрагироваться от сюжета и рассмотреть только математическую структуру задачи, то в ней говорится о двух множителях (скорости движения обоих объектов) или разнице этих множителей и о двух произведениях (расстояния, которые они проходят) или их разность. Неизвестные множители (время) одинаковые и их необходимо найти. С математической точки зрения неизвестный множитель показывает, сколько раз разность известных множителей содержится в разности произведений. Поэтому задачи, которые решаются способом остатков, получили название задач на нахождение чисел по двум разностям.

Задача. Учащиеся решили наклеить в альбом фотографии с праздника. Если они на каждую страницу наклеют по 4 фотографии, то в альбоме не хватит места для 20 фотографий. Если же на каждую страницу клеить по 6 фотографий, то 5 страниц останутся свободными. Сколько фотографий собираются учащиеся наклеить в альбом?

Анализ задачи

Количество фотографий остается одинаковым при первом и втором вариантах наклеивания. По условию задачи оно неизвестно, но его можно найти, если будет известно количество фотографий, которые размещаются на одной странице, и количество страниц в альбоме.

Количество фотографий, которые наклеивают на одну страницу, известно (первый множитель). Количество страниц в альбоме неизвестно и остается неизменным (второй множитель). Так как известно, что 5 страниц альбома остаются во второй раз свободными, то можно найти, сколько еще фотографий можно было бы наклеить в альбом: 6*5 = 30 (фотографий).

Значит, увеличивая количество фотографий на одной странице на 6 - 4 = 2, количество наклеенных фотографий увеличивается на 20 + 30 = 50.

Так как во второй раз на каждую страницу наклеивали на две фотографии больше и всего наклеили на 50 фотографий больше, то найдем количество страниц в альбоме: 50: 2 = 25 (стр.).

Следовательно, всего фотографий было 4*25 + 20 = 120 (фотографий).

Ответ: В альбоме было 25 страниц и клеили 120 фотографий.

Глава II. Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

Обучение методам решения текстовых задач провожу системно, при изучении каждой темы школьного курса.

2.1 Решение задач на совместное движение

Начиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости».В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной школе нет).Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться и в одном направлении.и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу:

Таблица 1.

Методы нахождения скорости сближения и скорости удаления

При разборе задачи даются следующие вопросы

1. С помощью движения рук выясняем, как двигаются тела относительно друг друга (в одном направлении, в разных).

2. Выясняем, каким действием находится скорость (сложением, вычитанием).

3. Определяем, какая это скорость (сближения, удаления).

Записываем решение задачи.

Пример № 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 600км, одновременно, навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость легковой 100 км/ч, а грузовой -- 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Учащиеся движением рук показывают, как движутся машины и делают следующие выводы:

а. машины движутся в разных направлениях;

б. скорость будет находиться сложением;

в. так как они движутся навстречу друг другу, то это скорость сближения.

1. 100 + 50 = 150 (км/ч) - скорость сближения.

2. 600: 150 = 4 (ч) - время движения до встречи.

Ответ: через 4 часа.

Пример №2. Мужчина и мальчик вышли из дома на дачу одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5км/ч, а скорость мальчика 3км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

С помощью движения рук, выясняем:

а. мальчик и мужчина движутся в одном направлении;

б. скорость находится разностью;

в. мужчина идет быстрее, т. е., удаляется от мальчика (скорость удаления).

1. 5 -- 3 = 2 (км/ч) - скорость удаления.

2. 2*2 = 4 (км/ч) - расстояние между мужчиной и мальчиком через 2 часа

Ответ: 4 км.

2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

При подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы.

Устный счет следует проводить с использованием данных карт, которые должны быть у каждого учащегося, что позволяет привлечь к работе весь класс.

Пример№1. У первого мальчика на 5 марок больше, чем у второго. Как найти сколько марок у второго?

Учащиеся поднимают карту №1 и объясняют, что к числу первого нужно прибавить 5, так как у него на 5 больше, выделяя интонацией «на … больше»

Пример №2. У второго мальчика 30 марок, а у первого в 3 раза меньше. Сколько марок у первого мальчика?

Учащиеся должны поднять карту №4 и ответить: 10 марок, так как 30:3 =10. Опорные слова - «в...меньше».

Подбор задач на устный счет должен быть разнообразным, но каждый раз ученик должен давать объяснение, называя опорные слова. В таблице опорные слова лучше подчеркивать.

Пример №3. Всадник проехал 80км за 5 часов. Сколько времени потратит на этот путь велосипедист, если его скорость на 24 км/ч больше скорости всадника?

При заполнении таблицы ученик должен подчеркнуть опорные слова и объяснить, что скорость велосипедиста находится путем сложения 16 км/ч и 24 км/ч. Затем, устанавливая функциональную зависимость между величинами, учащиеся заполняют все строки и столбцы таблицы. После этого, в зависимости от поставленной задачи, ученик или отвечает на вопрос, или оформляет решение. Работая с таблицей, учащийся должен понимать, что при решении задачи все строки и столбцы должны быть заполнены данными задачи, и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами.

2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал: а. какое действие обозначает дробная черта;

б. что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь 3/4 обозначает, что данное разделили на 4 равные части и взяли 3 части. Для этого хорошо использовать конверты, которые готовят все учащиеся с помощью родителей. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят как получаются дроби.

Например. Выложить фигуру, изображающую дробь 5/6. Зная цвета долей, учитель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей.

Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим вычитание. Из 1 вычтем 1/4. Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью 4/4. После 2-3 примеров учащиеся сами делают вывод.

С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь 1/3 они накладывают 2/6 и т. д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач.

Пример №1. В саду 120 деревьев. Березы составляют 2/3 всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен?

Вопрос: Что означает дробь 2/3?

Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.

40*2 = 80 (дер.) - было берез.

120 -- 80 = 40 (дер.) - было сосен.

II способ:

120: 3 = 40 (дер.) - составляют одну часть.

3 -- 2 = 1 (часть) - составляют сосны.

40*1 = 40 (дер.) - составляют сосны.

...

Подобные документы

Обучение детей нахождению способа решения текстовой задачи на уроках математики. Роль арифметических задач в начальном курсе математики. Решение задач на совместное движение, на нахождение части числа и числа по части, на проценты, на совместную работу.

дипломная работа , добавлен 28.05.2008


Характеристика форм работы младших школьников на уроках математики. Использование различных форм работы в процессе решения текстовой задачи. Решение текстовых задач в начальной школе. Диагностика уровня сформированности умений школьников решать задачи.

дипломная работа , добавлен 04.09.2010


Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.

курсовая работа , добавлен 20.08.2010


Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.

дипломная работа , добавлен 24.02.2010


Сущность алгебраического метода решения текстовых задач. Типичные методические ошибки учителя при работе с ними. Решение текстовых задач алгебраическим методом по Г.Г. Левитасу и В. Лебедеву. Анализ практического применения методики обучения их решению.

курсовая работа , добавлен 30.09.2010


Понятие задачи и ее решения. Решение задач выделением этапов математического моделирования. Роль аналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать алгебраическим способом. Задания по формированию умений составления математических моделей.

дипломная работа , добавлен 23.04.2011


Понятия компетенции и компетентности. Взгляды на реализацию компетентностного подхода в школе. Классификация и содержание ключевых образовательных компетенций. Ключевые компетенций на уроках математики в 5-6 классах. Примеры формирования компетенций.

дипломная работа , добавлен 24.06.2009


Понятие "текстовая задача" и ее структура. Процесс решения текстовых задач. Методические приемы, используемые в обучении решению. Формирование у учащихся обобщенных умений. Работа над текстовой задачей с использованием тетрадей с печатной основой.

курсовая работа , добавлен 16.03.2012


Значение арифметических задач для умственного развития детей. Виды математических задач и их классификация. Особенности усвоения детьми сущности задач. Методика и этапы обучения дошкольников решению задач. Арифметические задачи, составленные детьми.

контрольная работа , добавлен 18.12.2010


Подбор комплекса олимпиадных задач по математике для детей младшего школьного возраста. Структура и виды олимпиадных задач, способы их решения. Обучение детей умению и навыкам выполнять семантический, логический и математический анализ текстовых задач.

Решение задач алгебраическим способом (с помощью уравнений) По учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича

учитель математики МОУ «ЛСОШ №2»

г. Лихославль Тверской области

Цели: - показать правило решения задач алгебраическим способом; - формировать умение решать задачи арифметическим и алгебраическим способами.

Способы

решения задач

Арифметический (решение задачи по действиям)

Алгебраический (решение задачи с помощью уравнения)

Задача №509

Прочитайте задачу.

Постарайтесь найти разные способы решения.

В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше, чем в другой.

1 способ решения

(смотреть)

3 способ решения

(смотреть)

2 способ решения

4 способ решения

1 способ (арифметический)

• 16 – 4 = 12 (кг) – печенья останется в двух коробках, если из первой коробки достать 4 кг печенья.

• 12: 2 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

• 6 + 4 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

Ответ

В решении использован способ уравнивания .

Вопрос : почему он получил такое название?

Назад )

2 способ (арифметический)

• 16 + 4 = 20 (кг) – печенья станет в двух коробках, если во вторую коробку добавить 4 кг печенья.

• 20: 2 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

• 10 - 4 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

Ответ : масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй 6 кг.

В решении использован способ уравнивания .

Назад )

3 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья во второй коробке буквой х кг. Тогда масса печенья в первой коробке будет равна (х +4) кг, а масса печенья в двух коробках – ((х +4)+ х ) кг.

(х +4)+ х =16

х +4+ х =16

2 х +4=16

2 х =16-4

2 х =12

х =12:2

Во второй коробке было 6 кг печенья.

6+4=10 (кг) – печенья было в первой коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Задание : Объясните, в чем отличие арифметического способа от алгебраического?

Назад )

4 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья в первой коробке буквой х кг. Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (х -4) кг, а масса печенья в двух коробках – (х +(х -4)) кг.

По условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Получаем уравнение:

х +(х -4)=16

х + х -4=16

2 х -4=16

2 х =16+4

2 х =20

х =20:2

В первой коробке было 10 кг печенья.

10-4=6 (кг) – печенья было во второй коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Назад )

• Какие два способа решения задачи были использованы?
• Что собой представляет способ уравнивания?
• Чем первый способ уравнивания отличается от второго?
• В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Как можно уравнять количество денег в обоих карманах?
• В чем заключается алгебраический способ решения задачи?
• Чем отличается 3 способ решения задачи от 4-го?
• В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Известно, что меньшее количество денег обозначили переменной х . Как будет выражаться через х
• Если за х обозначить большее количество денег в кармане, тогда как будет выражаться через х количество денег в другом кармане?
• В магазине шампунь стоит на 25 руб дороже, чем в супермаркете. Обозначьте одну переменную буквой у и выразите другую стоимость через эту переменную.

Задача №510

Решите задачу арифметическим и алгебраическим способами.

С трех участков земли собрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собрали поровну, а с третьего – на 12 ц больше, чем с каждого из двух первых. Сколько картофеля собрали с каждого участка.

Алгебраический способ

(смотреть)

Арифметический способ

(смотреть)

выход )

Арифметический способ

• 156 - 12 = 144 (ц) – картофеля собрали бы с трех участков, если бы урожайность всех участков была бы одинаковой.

• 144: 3 = 48 (ц) – картофеля собрали с первого и собрали со второго участков.
• 48 + 12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ

Назад )

Алгебраический способ

Пусть с первого участка собрали х ц картофеля. Тогда со второго участка собрали тоже х ц картофеля, а с третьего участка собрали (х +12) ц картофеля.

По условию со всех трех участков собрали 156 ц картофеля.

Получаем уравнение:

х + х + (х +12) =156

х + х + х + 12 = 156

3 х +12 = 156

3 х = 156 – 12

3 х = 144

х = 144: 3

С первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля.

48 +12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ : с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего участка собрали 60 ц картофеля.

Назад

Арифметический способ решения текстовых задач

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

Умение решать текстовые задачи – один из основных показателей математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала, четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.

Текстовые задачи для большинства школьников – трудный, а поэтому нелюбимый учебный материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как задачи способствуют развитию прежде всего логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека.

В процессе решения задач учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики в решении реальных жизненных задач. Решение текстовых задач развивает логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Традиционная российская школа всегда уделяла особое внимание обучению детей решению текстовых задач. Исторически сложилось так, что достаточно долгое время математические знания из поколения в поколение передавались в виде текстовых задач с решениями. Значимость их заключалась еще в прикладном значении, так как по своему содержанию это были задачи практической направленности (расчеты банковские, торговые, земельные и др.). Образованным в России считался тот, кто умел решать эти типовые задачи, очень важные в повседневной жизни.

Необходимо отметить, что бучение решению практических задач давалось нелегко. Часто наблюдалось заучивание наизусть способа решения без осознанного понимания условия. Главное – определить тип задачи и найти правило для ее решения, понимание было не важно.

К середине XX века была разработана хорошая методика обучению решению задач. Но, к сожалению, часто наблюдалось со стороны преподавателей натаскивание учащихся на решение типовых задач, запоминание стандартных приемов. Но невозможно научиться решать задачи по заученной схеме.

В конце 60-х годов реформа школьного математического образования предполагала раннее введение уравнений с целью по-новому организовать обучение решению задач. Однако, роль алгебраического способа решения текстовых задач в 5-6 классах была преувеличена именно потому, что из школьной программы были удалены арифметические способы. И практика доказала, что без достаточной подготовки мышления учащихся решать задачи с помощью уравнений нецелесообразно. Ученик должен уметь рассуждать, представлять действия, которые происходят с предметами.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять достаточно внимания и не торопиться переходить к алгебраическому способу – решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, к чему они приводят. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе. Только над этим вряд ли задумывается ученик.

Очень часто мы наблюдаем, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводим абстрактную переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что необходимо учитывать возрастные особенности детей, у которых на этот момент развито наглядно-образное мышление. Абстрактные модели им пока не под силу

Что же мы понимаем под требованием – решить задачу. Это значит найти такую последовательность действий, которая в результате анализа условия приведет к ответу на поставленный в задаче вопрос. Чтобы прийти к ответу, нужно проделать серьезный путь, начиная с момента понимания текста, уметь выделять главное, «перевести» задачу на язык математики, заменяя слова «скорее», «медленнее» на «меньше» или «больше», составлять графическую модель или таблицу, облегчающие понимание условия задачи, сопоставлять величины, устанавливая логические отношения между данными по условию и искомыми. И дается это детям очень нелегко.

Важно отметить, что текст задач должен составляться таким образом, чтобы ребенок понимал и представлял, о чем идет речь. Зачастую, прежде чем приступить к решению задачи, затрачивается много времени на разбор условия, когда учащимся приходится объяснять, что такое чугунная болванка, чем она отличается от детали, а также железобетонная опора, станок-автомат, жилая площадь и т.д. Текст задачи должен соответствовать уровню его восприятия. Конечно же, текст задачи необходимо приблизить к реальной жизни, чтобы можно было увидеть практическое применение данной модели.

Приступая к решению задачи необходимо не только представить ситуацию, о которой идет речь, но и изобразить ее на рисунке, схеме, в виде таблицы. Невозможно качественно решить задачу без составления краткой записи условия. Именно схематичное составление условия позволяет при обсуждении решения выявить все действия, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые примеры решения текстовых задач

Задачи на движение

Данный тип задач широко распространен в школьном курсе математики. В них рассматриваются разные виды движения: навстречу, в противоположных направлениях, в одном направлении (один догоняет другого).

Для понимания этих задач удобно изобразить схему. Но, если учащийся составляет таблицу, не нужно переубеждать его в том, что данный способ краткой записи условия не очень хорош. Мы по-разному воспринимаем информацию. Может, ребенок в таком отображении лучше «видит» задачу.

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

Составим схему к задаче, которая достаточно полно отражает условие (указаны направления движения, скорости велосипедистов, время в пути до встречи, ясен вопрос):

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

1 способ:

Традиционно мы любим решать эти задачи, вводя понятие «скорость сближения», и находим ее как сумму (или разность) скоростей участников движения. При движении навстречу друг другу – скорости складываем:

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Зная, что время движения одинаково, второе действие позволяет по формуле пути (S = vt ) рассчитать искомое расстояние и ответить на поставленный в задаче вопрос.

2) 26 3 = 78 (км)

Составим выражение:

3(12 + 14) = 78(км)

Ответ : 78 км.

Но не все дети понимают, что это за абстрактная величина – скорость сближения. Почему можно складывать, а в других случаях вычитать скорости двух различных участников движения, объединяя их общим названием. Если ваши ученики решают эту задачу другим способом, не старайтесь их перетянуть на свою сторону. Для кого-то еще не настало время это понять, а кому-то первый способ вообще никогда не будет доступным.

2 способ:

1)12 3 = 36 (км) – путь первого велосипедиста до встречи

2)14 3 = 42 (км) – путь второго велосипедиста до встречи

3)36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками

Составим выражение:

12 3 + 14 3 = 78 (км)

Ответ : 78 км.

Постепенно, когда ребенок научится понимать такие задачи, сравнивая числовые выражения, можно показать, что оба способа взаимосвязаны, а заодно вспомнить распределительное свойство умножения:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Пример 2. В двух пачках было 54 тетради. Когда из первой пачки убрали 10 тетрадей, а из второй - 14 тетрадей, то в обеих пачках стало тетрадей поровну. Сколько было тетрадей в каждой пачке первоначально?

Как можно отобразить условие?

1.Составить таблицу:

Было

Убрали

Стало

1 пачка - ? 54 тет.

2 пачка – ?

10 тет.

14 тет.

поровну

2. Сделать рисунок

Забрали 14 шт.

Забрали 10 шт.

Поровну

Всего 54 шт.

Проанализируем решение задачи, обращая внимание на то, на какие вопросы мы даем ответы, выполняя каждое арифметическое действие:

1) Сколько всего тетрадей убрали из обеих пачек?

10 + 14 = 24 (шт.);

2) Сколько стало тетрадей в двух пачках?

– 24 = 30 (шт.);

3) Сколько стало в каждой пачке тетрадей?

30: 2 = 15 (шт.);

4) Сколько было тетрадей в первой пачке первоначально?

10 = 25 (шт.);

5) Сколько было тетрадей во второй пачке первоначально?

54 – 25 = 29 (шт.).

В 5 классе, вероятнее всего, ученик выберет именно такой способ решения задачи. А предложите ему решить эту задачу в 6 ил 7 классе. Возможно, ситуация изменится, и ученик будет решать ее с помощью уравнения. Выполняя те же действия, он не будет задумываться над многочисленными вопросами. Выбирая уравнение как средство решения задачи, очень быстро придет к тому же ответу.

Как же тогда будет выглядеть решение?

Пусть х тетрадей стало в каждой пачке после перекладывания,

тогда (х + 10) тетрадей было первоначально в первой пачке, а

(х + 14) тетрадей было первоначально во второй пачке.

Зная, что в двух пачках было 54 тетради, можно составить уравнение:

х + 10 + х + 14 = 54

В уравнении прослеживаются все те же действия, которые выполняются при арифметическом способе решения задачи.

х + х + (10 + 14) = 54; (1 действие арифметического способа)

2х = 54 – 24; (2 действие)

х = 30:2; (3 действие)

15 + 10 = 25 (шт.) (4 действие)

15 + 14 = 29 (шт.) (5 действие)

Ответ: 25 тетрадей, 29 тетрадей.

Но при этом никто не задает вопросов, что мы находим при выполнении каждого шага.

Своим ученикам я всегда показываю, что текст задач для 5-х или 9-х классов зачастую одинаков по смыслу. И практика показывает, что пятиклассники в состоянии разобраться с условием из задачника для 9 класса и даже составить уравнение. Решить такое уравнение, конечно же, пока не хватает знаний. Но при этом не каждому девятикласснику удается решить арифметическим способом задачу для 5 класса.

Школьники, обычно, выбирают алгебраический способ решения текстовых задач, к арифметическому они практически никогда не возвращаются. Они просто перестают видеть этот способ, увлекаясь введением переменных и составлением уравнений.

За что же мы ценим арифметический способ решения текстовых задач? Первое и главное за то, что при выполнении каждого арифметического действия учащийся задумывается над тем: «А что я нашел в результате?» Он представляет, о чем идет речь в задаче, так как каждое действие имеет наглядное и конкретное истолкование. В результате активно развивается логическое мышление. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у ученика формируются познавательные универсальные учебные действия, формирование которых является важнейшей задачей современной системы основного общего образования.

Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5-6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.

Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Великий Д.Пойа сказал: “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. Если мы научим детей решать задачи - мы не только повысим интерес к самому предмету, окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.