Уравнение бернулли простыми словами. Уравнение Бернулли. Определение
При движении реальной жидкости, вследствие её вязкости, действуют гидравлические сопротивления, на преодоление которых затрачивается энергия. Эта энергия превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущей жидкостью.
Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости имеет вид
где
─ потери напора на участке длиной
вдоль оси струйки между двумя сечениями.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид:
(3.9)
где
─ коэффициенты Кориолиса, учитывающие
различие скоростей в разных точках
сечения потока реальной жидкости.
На
практике
:
для ламинарного режима течения жидкости
в круглых трубах
;
для турбулентного режима
.
С
помощью уравнения Бернулли решается
большинство задач практической
гидравлики. Для этого выбирают два
сечения по длине потока, таким образом,
чтобы для одного из них были известны
величины
,
а для другого сечения одна или величины
подлежали определению. При двух
неизвестных для второго сечения
используют уравнение постоянства
расхода жидкостиυ
1
ω
1
= υ
2
ω
2
.
Гидравлические сопротивления
Движущийся поток жидкости на своем пути преодолевает силы трения жидкости о стенки трубы или канала и различные местные сопротивления, вследствие чего возникают потери удельной энергии. Потери напора различают двух видов:
Потери по длине потока
;
Потери на преодоление местных сопротивлений
.
Полные потери напора равны сумме всех потерь
(3.10)
Потери напора по длине
При равномерном движении в трубах потери напора по длине, как при турбулентном, так и при ламинарном движении определяются для круглых труб по формуле Дарси
(3.11)
а для труб любой другой формы сечения по формуле
(3.12)
В некоторых случаях также используют формулу
(3.13)
Потери
давления на трение по длине
,
Па, определяются по формуле
(3.14)
где
─ длина участка трубы или канала, м;
─эквивалентный
диаметр, м;
─средняя
скорость течения, м/с;
─гидравлический
радиус трубы, м;
─коэффициент
гидравлического трения;
─коэффициент
Шези, связанный с коэффициентом
гидравлического трения зависимостями
;
В зависимости от режима движения применяются различные формулы для определения коэффициента гидравлического трения.
При ламинарном движении по трубам круглого сечения коэффициент гидравлического трения определяется по формуле
(3.15)
а для труб любой формы сечения
(3.16)
где А ─ коэффициент, численное значение которого зависит от формы поперечного сечения трубы.
Тогда формула для определения потерь напора по длине при ламинарном режиме принимает вид
(3.17)
Впервые
наиболее исчерпывающие работы по
определению
были даны И.И. Никурадзе, который на
основе опытных данных построил график
зависимости
от
для ряда значений
.
Опыты Никурадзе были проведены на трубах
с искусственно заданной шероховатостью,
полученной путем приклейки песчинок
определенного размера на внутренние
стенки трубопровода. Результаты этих
исследований представлены на рисунке
3.5, где построены зависимости
от
для ряда значений
.
Прямая I соответствует ламинарному режиму движения жидкости в соответствии с выражением (3.15).
При турбулентном режиме различают три области гидравлических сопротивлений, установленных в результате опытов, проведенных Никурадзе (см. рисунок 3.5)
Рисунок 3.5 ─ График Никурадзе
Первая
область ─ область малых
и
,
где коэффициент
не зависит от шероховатости, а определяется
лишь числом
(отмечена на рисунке 3.5 прямой II).
Это
область
гидравлически гладких
труб
.
Если число Рейнольдса лежит в диапазоне
коэффициент
определяется по полуэмпирической
формуле Блазиуса
.
(3.18)
Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.
Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести
и
сил гидродинамического давления
.
Так
как
,
то
.
Учитывая,
что в общем случае скорость выделенного
элемента
,
его ускорение
.
Применив
к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения,
получим
Учитывая
то, что
и
что при установившемся движении
,
после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в
рассматриваемом сечении:
,
где
-
геометрический напор (высота), выражающий
удельную потенциальную энергию положения
частички жидкости над некоторой
плоскостью отсчета, м,
-
пьезометрический напор, выражающий
удельную энергию давления, м,
-
скоростной напор, выражающий удельную
кинетическую энергию, м,
-
статический напор, м.
Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.
В
практике технических измерений уравнение
Бернулли используют для определения
скорости жидкости
.
Уравнение
Бернулли можно получить еще и следующим
образом. Представим себе, что рассматриваемый
нами элемент жидкости является
неподвижным. Тогда на основании основного
уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в
сечениях 1 и 2 будет
.
Движение
жидкости характеризуется появлением
кинетической энергии, которая для
единицы веса будет равна для рассматриваемых
сечений
и
.
Полная энергия потока элементарной
струйки будет равна сумме потенциальной
и кинетической энергии, поэтому
.
Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.
Лекция №7
Уравнение бернулли для реальной жидкости
Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:
.
где
-
геометрический напор (высота), м,
- пьезометрический напор, м,
-
скоростной напор, м, 
- статический напор, м.
В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.
Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор
.
Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим
где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.
Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.
Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:
Л
иния
А, которая проходит по уровням в
пьезометрах, измеряющих в точках
избыточное давление, называетсяпьезометрической
линией
. Она
показывает изменение отсчитанного от
плоскости сравнения статического напора
Н
с
по длине потока. Пьезометрическая линия
отделяет область измерения потенциальной
и кинетической энергии.
Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).
Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой
,
т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.
Расходомер Вентури
Р
асходомер
Вентури представляет собой устройство,
устанавливаемое в трубопроводах и
осуществляющее сужение потока –
дросселирование. Расходомер состоит
из двух участков – плавно сужающегося
(сопла) и постепенно расширяющегося
(диффузора). Скорость потока в суженном
месте возрастает, а давление падает. В
наибольшем и наименьшем сечениях трубы
установлены пьезометры, показания
которых позволяют определить перепад
пьезометрического напора между двумя
сечениями трубы и записать
.
В
этом уравнении неизвестными являются
v
1
и v
2
.
Из уравнения неразрывности следует
,
что позволяет определить скоростьv
2
и расход жидкости через трубу
,
где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.
Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.
Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.
Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».
Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 - 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.
Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
- плотность жидкости, - скорость потока, - высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, - давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, - ускорение свободного падения.Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.
В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли .
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).
Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли . В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.
Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: 
.
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : 
.
Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.
Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.
Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1) Введем новую функцию . Тогда 
. Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x)
: 
, т.е. для функции z(x)
получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x)
выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y
. При добавляется решение y(x)=0
. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0 , следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.
Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.
Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x . Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).
Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y) , что и .
Действительно, поскольку , то 
(9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y:
. Но , следовательно, .Положим 
и тогда .Итак, построена функция 
, для которой , а .
Интегрирующий множитель.
Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y) , такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение
µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du , то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1 .
Если найден интегрирующий множитель µ , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.
Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y , то .
Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ
удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка: 
(10.1). Если заранее известно, что µ= µ(ω)
, где ω
– заданная функция от x
и y
, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ
от независимой переменной ω
: (10.2), где , т. е. дробь является функцией только от ω
.
Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель , с = 1. В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x ) или только от y (ω = y ), если выполнены соответственно следующие условия: , или , .
10. Свойства решений ЛДУ II-го порядка (с док-вом). Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид: , (2.1)
где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a 0 (x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде: (2.2)
Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае. Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.
Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.
Теорема. Если и – решение лоду , (2.3) то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.
Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида
где n≠0,n≠1.
Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки
в линейное уравнение
На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при .
Примеры. Решить уравнения:
1) y’x+y=-xy².
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.
1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:
(при нахождении u С берем равным нулю).
3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:
(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):
(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).
2) 2y’+2y=xy².
Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:
3) Подставляем во (II) =0 и
Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:
Интегрируем:
Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:
Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:
А так как
Сделаем С=-С:
4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:
3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:
Это — уравнение Бернулли,
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):
v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:
В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:
При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.
При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).
3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, подставляем:
вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:
Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:
4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:
Примеры для самопроверки:
1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:
2) Группируем слагаемые с v:
Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:
Интегрируем обе части уравнения:
3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²:
Интегрируем обе части получившегося уравнения.
