Схемы повторных испытаний бернулли исследовательская работа. Повторение испытаний. Схема бернулли. III. Изучение нового материала

⁰

Разделы: Математика

Цели:

формирование вероятностно-статистическое мышление учащихся;
мотивация учащихся к изучению тем теории вероятностей;
ознакомление с применением формулы Бернулли при решении задач.

Задачи :

закрепить знания и умения решать комбинаторные задачи;
формировать навыки применения схемы Бернулли при решении задач,
формировать навыки решения задач по формуле Бернулли,
развивать основные мыслительные операции учащихся: умение сравнивать, анализировать.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: компьютер, презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

Вспомним основные понятия и формулы комбинаторики.

1. Что называется факториалом числа n? (Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.)
2. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на полке? (3! = 3 · 2 · 1. Это число перестановок из 3 элементов.)
3. Сколькими способами можно распределить I, II, III места между 7 участниками соревнования? (7 · 6 · 5 = 210. Это число размещений из 7 элементов по 3.)
4. Сколькими способами можно составить график дежурства 3 учащихся из 5?

(Сообщение темы, целей и задач урока)

Проводится серия независимых испытаний, в
каждом из которых возможно 2 исхода,
которые условно назовем Успех и Неудача.
Например, студент сдает 4 экзамена, в каждом
из которых возможно 2 исхода Успех: студент
сдал экзамен и Неудача: не сдал.

Вероятность Успеха в каждом испытании равна
p. Вероятность Неудачи равна q=1-p.
Требуется найти вероятность того, что в серии
из n испытаний успех наступит m раз
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
В каждом случае Успех происходит m раз, а
Неудача (n-m) раз.
Число
всех
комбинаций
равно
числу
способов из n испытаний выбрать те m, в
которых был Успех, т.е. C m
n

Вероятность каждой такой комбинации по
теореме
об
умножении
вероятностей
составит Pmqn-m.
Так как эти комбинации несовместны, то
искомая вероятность события Bm будет
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
âñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Известно, если монета упадет орлом, студент
идет в кино, если монета упадет решкой

студентов. Какова вероятность, что
1) трое из них окажутся на лекции
2) на лекции окажется не меньше 3 студентов
2) хотя бы один из студентов попадет на лекцию?

1) В данной задаче проводится серия из n=5
независимых испытаний. Назовем Успехом
поход на лекцию (выпадение решки) и
Неудачей – поход в кино (выпадение герба).
p=q=1/2.
По формуле Бернулли находим вероятность того,
что при 5 бросаниях монеты трижды случится
успех:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Чтобы найти вероятность того, что при 5 бросаниях
хотя бы один раз монета выпадет решкой,
перейдем к вероятности противоположного
события - монета все 5 раз выпадет гербом:
Р5 (0).
Тогда искомая вероятность будет: Р=1- Р5(0).
По формуле Бернулли:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Тогда вероятность искомого события составит
P 1 0.03125 0,96875

Бернулли
студент идет
в кино, если монета упадет решкой – студент идет на
лекцию. Монету бросило 5 студентов. Каково наиболее
вероятное число студентов, идущих на лекцию?
Вероятность
выигрыша по 1 билету равна 0,2. Каково наиболее
вероятное число выигравших билетов?

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли

np q k np p

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Формула для наиболее вероятного числа успехов
np q k np p
Если np-q– целое число, то в этом интервале лежит 2
целых числа. Оба равновероятны.
Если np-q – нецелое число, то в этом интервале лежит 1
целое число

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,

– студент идет на лекцию. Монету бросило 5

студентов, идущих на лекцию?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Известно, если монета упадет орлом,
студент идет в кино, если монета упадет решкой
– студент идет на лекцию. Монету бросило 5
студентов. Каково наиболее вероятное число
студентов, идущих на лекцию?
вероятность, Pn(k)
Вероятности числа студентов, посетивших
лекцию
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
число студентов, k
4
5

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.

билетов?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
P10 (2) C 0, 2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример Куплено 10 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша по 1 билету равна 0,2.
Каково наиболее вероятное число выигравших
билетов?
Вероятности числа выигрышных билетов
вероятность, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
число билетов, k
7
8
9
10

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли

Заключено 10 договоров

выплатить страховую сумму

одному из договоров

чем по трем договорам
г) найти наиболее вероятное число договоров, по
которым придется выплатить страховую сумму

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
а) Найти вероятность того, что по трем придется
выплатить страховую сумму
0,201327

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
б) Страховую сумму не придется выплачивать ни по
одному из договоров
0,107374

Наивероятнейшее число успехов в схеме
Бернулли
Пример В среднем по 20% договоров страховая
компания выплачивает страховую сумму.
Заключено 10 договоров
в) страховую сумму придется выплатить не более,
чем по трем договорам
0,753297

Если n велико, то использование формулы
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
затруднительно
Поэтому применяются приближенные формулы

Теорема: Если вероятность p наступления события А
в каждом испытании близка к нулю,
а число независимых испытаний n достаточно велико,
то вероятность Pn(m) того, что в n независимых испытаниях
событие А наступит m раз, приближенно равна:
Pn (m)
m
m!
e
где λ=np
Эта формула называется формулой Пуассона (закон редких событий)

Pn (m)
m
m!
e , np
Обычно приближенную формулу Пуассона применяют,
когда p<0,1, а npq<10.

Пример Пусть известно, что при изготовлении некоторого препарата
брак (количество упаковок, не соответствующих стандарту)
составляет 0,2%. Оценить приближенно вероятность того, что
серди 1000 наугад выбранных упаковок окажутся три упаковки,
не соответствующие стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e ,
np

связано не более 5 договоров.

Пример В среднем по 1 % договоров страховая компания
выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из
100 договоров с наступлением страхового случая будет
связано не более 5 договоров.

МОУ « Рудногорская средняя общеобразовательная школа»

Разработка урока по теории вероятностей

в 10 классе

по теме

« Независимые повторные испытания.

Теорема Бернулли »

Учитель математики

МОУ «Рудногорская сош»

Чибышева И.А.

«…Случайность главным образом

зависит от нашего знания…»

Якоб Бернулли

Тема « »

Класс:10

Цели урока:

Обучающие:

Развивающие:

Воспитательные:

Задачи :

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения: беседа, письменные упражнения.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор. презентация, раздаточный материал

План урока:

Организационный этап -2 мин

Актуализация опорных знаний – 3 мин

Этап изучения нового материала – 10 мин

Этап обобщения и систематизации знаний -20 мин

Домашняя работа -3 мин

Подведение итога урока- 2 мин

Рефлексия -5 мин.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний

Вспомним основные понятия и формулы комбинаторики.

1. Что называется факториалом числа n? (Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.)
2. Сколькими способами можно расставить4 различные книги на полке? (3! = 3 · 2 · 1. Это число перестановок из 3 элементов.)
3. Сколькими способами можно распределить I, II, III места между 7 участниками соревнования? (7 · 6 · 5 = 210. Это число размещений из 7 элементов по 3.)
4. Сколькими способами можно составить график дежурства 3 учащихся из 5? (это число сочетаний из 5 элементов по 3 и равно 10).

5. Что мы называем вероятностью случайного события?

6. Сформулируйте классическое определение вероятности.

III. Изучение нового материала

При практическом применении теории вероятностей и математической статистики часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие A, причем нас интересует не результат каждого опыта, а общее число появлений события A в серии опытов. Например, совсем недавно в Корее прошел чемпионат мира по биатлону. Спортсмены производили ряд выстрелов по мишеням, и нас, как правило, интересовал не результат каждого отдельного выстрела, а общее число попаданий. При этом результаты предыдущих опытов никак не сказывались на последующих. Такая стандартная схема часто встречается и в самой теории вероятностей. Она называется схемой независимых испытаний или схемой Бернулли . Швейцарский математик XVII в. Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную задачу-схему (работа "Искусство предположений" опубликована в 1713 году).

Историческая справка (сообщение о жизни ученого к уроку готовит один из обучающихся):

«Якоб Бернулли (27.12.1654, Базель, – 16.8.1705, там же) – профессор математики Базельского университета (1687) был выходцем из Голландии….. «

Проверка домашнего задания:
1 группа: Вам дома надо было вычислить вероятность выпадения 1 на игральном кубике.
2 группа: Вам дома надо было вычислить вероятность выпадения «орла» при бросании монеты. (Ученики называют результаты, делается вывод о причинах различных ответов, и вывод о том, что чем больше испытаний, тем лучше можно увидеть, к чему стремится результат)
Говоря о частоте и вероятности некоторого случайного события А, мы подразумеваем наличие определенных условий, которые можно неоднократно воспроизводить. Этот комплекс условий мы называем случайным опытом или случайным экспериментом. Отметим, что результат одного опыта никак не зависит от предыдущего. Несколько опытов называются независимыми , если вероятность исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты – это независимые опыты. Несколько последовательных выниманий шаров из мешка – независимые опыты при условии, что вынутый шар каждый раз возвращается в мешок.. В противном случае – это зависимые опыты. Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему.

Схема Бернулли.

Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Требуется найти вероятность того, что при n таких повторениях произойдет ровно к «успехов».

Учителю следует подчеркнуть еще раз три условия, которым должна удовлетворять схема Бернулли:

1) у каждого испытания должно быть два исхода, называемых «успех» и «неудача»;

2) в каждом опыте вероятность события А должна быть неизменной;

3) результаты опытов должны быть независимыми.

1 V . Закрепление.

1. Устная работа (возможно организовать групповую работу) . Ответы обсуждаются в группах и один представитель озвучивает.

Объясните, почему следующие вопросы укладываются в схему Бернулли. Укажите, в чем состоит «успех» и чему равны n и k .

а) Какова вероятность того, что при 123 бросаниях монеты «решка» выпадет ровно 45 раз?

б) В черном ящике находятся 10 белых, 3 красных и 7 синих шаров. Шары извлекаются, записывается их цвет и возвращаются обратно. Какова вероятность того, что все из 20 извлеченных шаров будут синими?
в) Какова вероятность того, что при ста бросаниях монеты «орел» появится 73 раза?
г) Двадцать раз подряд бросили пару игральных кубиков. Какова вероятность того, что сумма очков ни разу не была равна десяти?
д) Из колоды в 36 карт вытащили три карты, записали результат и возвратили их в колоду, затем карты перемешали. Так повторялось 4 раза. Какова вероятность того, что каждый раз среди вытащенных карт была дама пик?

УЧИТЕЛЬ: Для получения численных значений в таких задачах необходимо заранее знать вероятность «успехов» и «неудач». Обозначив вероятность «успеха» p, а вероятность «неудач» q, где q = 1- p, Бернулли доказал замечательную теорему

2. Самостоятельная работа (возможно организовать групповую работу). Учащимся предлагается 7 задач на решение. В скобках указано количество баллов за задачу. Ребята обсуждают решение в группах. Установка: оценка «5»-17-22 балла, «4»-12- 16 баллов, «3»-6-11 баллов.

1). Какова вероятность того. что при десяти бросках игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза? (2 балла)

2). Какова вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?(2 балла)

3). Остап Бендер играет 8 партий против членов шахматного клуба. Остап играет плохо, поэтому вероятность выигрыша в каждой партии равна 0,01. Найдите вероятность того, что Остап выиграет хотя бы одну партию. (3 балла)

4). Вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,125. Какова вероятность того, что из 12 выстрелов не будет ни одного попадания? (3 балла)

5). В части А ЕГЭ по математике в 2005 году было 10 заданий с выбором ответа. К каждому из них предлагалось 4 варианта ответов, из которых только один верный. Для получения положительной отметки на экзамене необходимо ответить минимум на 6 заданий. Какова вероятность того, что нерадивый ученик сдаст экзамен? (4 балла)

6). Бросаем игральную кость. Какова вероятность того, что бросив кость 8 раз, мы выбросим шестерку не менее 4, но не более 6 раз? (4 балла)

7). За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень. (4 балла)

ОТВЕТЫ: 1) 0,29; 2) 0,246; 3)0,077; 4)0,2 5) 0,016; 6) 0,034; 7) 0,4095;

Если есть время, то работу можно обсудить, если нет, то собрать тетради на проверку.

V. Домашняя работа:

1). Вероятность события А равна 0,3. Какова вероятность того, что в серии из 6 испытаний событие А наступит хотя бы один раз? (4 балла)

2). Саше задали 10 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что он решит задачу равна 0,75. Найдите вероятность того, что Саша решит: а) все задачи;

б) не менее 8 задач; в) не менее 6 задач.

3. Серию испытаний Бернулли проводят дважды. В первый раз вероятность успеха равна ½, во второй раз вероятность успеха 1/3. В каком случае ожидаемый разброс величины S больше, если S число наступивших успехов?

ОТВЕТЫ: 1). 0,882 ; 2) а) 0,056; б) 0,526; в) 0,922.

Индивидуально: презентация материала по теме «Закон больших чисел», доклад на тему «Семейство Бернулли».

V1. Подведение итогов.

Какие ключевые слова урока можно выделить?Объясните их значение.

Какой ключевой факт сегодня изучен?

Что общего и в чем отличие статистики и вероятности?

V11. Рефлексия. На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме выразить свое отношение к изученном материалу.

Справка: СИНКВЕЙН – приём технологии развития критического мышления, на стадии рефлексии.

Это короткое литературное произведение, характеризующее предмет (тему), состоящее из пяти строк, которое пишется по определённому плану. Слово «синквейн» происходит от французского слова «пять».

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.

Литература

В.А.Булычев, Е.А.Бунимович. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. “Математика в школе”. № 4. 2003 г. стр. 59. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.

В.Н. Студинецкая и др. «В мире закономерных случайностей». Волгоград:Учитель, 2007.

Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.

Эл. учебник Рефераты и сочинения

Самоанализ урока

Курс: основы теории вероятностей и математической статистики.

Класс: 10-й, физико-математическое направление.

Тема урока: Независимые повторные испытания. Теорема Бернулли

Цели урока:

Обучающие:

Ознакомление учащихся со схемой Бернулли и отработка ее применения при решении задач.

Развивающие:

Формирование у учащихся единой научной картины мира и элементов научного мировоззрения путем исследования межпредметных связей теории вероятностей и различных наук;

Формирование вероятностно-статистического мышление учащихся;

Воспитательные:

Развитие самостоятельности и навыков самоконтроля.

Мотивация учащихся к изучению тем теории вероятностей.

Задачи :

закрепить знания и умения решать комбинаторные задачи;
формировать навыки применения схемы Бернулли при решении задач,
формировать навыки решения задач по формуле Бернулли,
развивать основные мыслительные операции учащихся: умение сравнивать, анализировать.

Тип урока: комбинированный.

Данный материал имеет практическое применение, так как позволяет решать задачи, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие A, причем нас интересует не результат каждого опыта, а общее число появлений события A в серии опытов. На данном уроке ребята узнали формулу для решения таких задач, научились определять задачи, которые подходят под схему Бернулли и решаются по его теореме. Рационально распределено время на всех этапах урока. Темп урока соответствовал уровню развития и подготовленности учащихся.

Урок был задуман мною как диалог между учителем и учащимися, так как класс достаточно сильный. Урок способствовал формированию основных мировоззренческих идей, вероятностно-статистического мышления, умения выделять межпредметные связи. Ребята работали в группах, что позволяет развивать их познавательную и коммуникативную компетентность. Для того, чтобы в группах работали все, согласно своим возможностям и способностям, чтобы не терялся интерес к преподаваемой дисциплине, задания предложены разноуровневого характера Учащиеся на уроке проявляли активность, самостоятельно приходили к выводу. Содержание урока способствовало развитию интереса к учению, о чем свидетельствует рефлексивный этап урока. Презентация помогла сделать урок более интересным, сэкономить время для конспектирования нового и систематизации материала.

Пример синквейна:

1. Теорема Бернулли
Новая, интересная.
Познакомились, поняли, заинтересовались.
Позволяет находить вероятность

В реальности.

2. О, испытания,

Независимые повторные

Разберем, поймем и вычислим

И поможет нам в этом, естественно,

Теорема Бернулли

Цели, поставленные на уроке, достигнуты.

Формула Бернулли

Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики

Один из основателей теории вероятностей и математического анализа

Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701)

Старший брат Иоганна Бернулли (самый знаменитый представитель семейства Бернулли)

Якоб Бернулли (1654 – 1705)

швейцарский математик

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие А, равна р , а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p .

Требуется найти вероятность того, что при п последовательных испытаниях событие А произойдет ровно т раз.

Искомую вероятность обозначим р п ( т ) .

Очевидно, что

р 1 (1) = p, р 1 (0) = q

р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1

При двух испытаниях:

возможны 4 исхода:

р 2 (2) = р 2 ; р 2 (1) = 2р·q; р 2 (0) = q 2

р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1

При трех испытаниях:

возможны 8 исходов:

Получаем:

р 3 (2) = 3р 2 ·q

р 3 (1) = 3pq 2

р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Задача 1.

Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?

Задача 2.

В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего шара. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.

Формулы для нахождения вероятность того, что в п испытаниях событие наступит :

а) менее т раз

р п (0) + … + р п (т-1)

б) более т раз

р п (т+1) + … + р п (п)

в) не более т раз

р п (0) + … + р п (т)

г) не менее т раз

р п (т) + … + р п (п)

Задача 3.

Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных.

Событие А - « более 4-х стандартных деталей » (5 или 6) означает

« не более 1 –й бракованной детали » (0 или 1)

Пусть производится п независимых испытаний. При каждом таком испытании событие А может произойти или не произойти. Известна вероятность появления события А.

Требуется найти такое число μ (0, 1, …, n), для которого вероятность Р n (μ) будет наибольшей.

Задача 4.

Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий?

По условию: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Задача 6.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.

По условию: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92

Слайд 2

Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(k) того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: Т Формулировка теоремы Формула Бернулли - формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений - сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний.

Слайд 3

Историческая справка ЯКОБ БЕРНУЛЛИ (1654–1705)Дата рождения: 27 декабря 1654г.Место рождения: БазельДата смерти: 16 августа 1705г.Место смерти: БазельГражданство: ШвейцарияНаучная сфера: МатематикМесто работы: Базельский университетНауч. рук.: ЛейбницЯкоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, - 16 августа 1705, там же) - швейцарский математик, брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687). Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении вариационного исчисления, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами. Якобу Бернулли принадлежат также работы по физике, арифметике, алгебре и геометрии.

Слайд 4

Пример использования формулы Бернулли Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события. РЕШЕНИЕ: Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли P6(3) =C36(3/4)3(1/4)3=0,13

Слайд 5

Проверь себя В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых? ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: ОТВЕТ: ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ: Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины. Игральный кубик бросается 3 раза. Какова вероятность того, что в этой серии испытаний 6 очков появятся ровно 2 раза? 0,01389 8/27 0,9477

Слайд 6

Проверь себя Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза. ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: Пусть всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5? 0,124 0,344

Слайд 7

Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; 1-p=1/3 Используя формулу Бернулли, получаем P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27 НАЗАД РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1

Слайд 8

НАЗАД РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2 Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е. P(A)=P4(3)+P4(4) P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94 = 0,93 (0,4+0,9)=0,9477