Основные принципы небесной механики и ньютона. Основы небесной механики

Таблица 3

Соотношение масс ступеней ракеты

Число ступеней	Ракеты с ЖРД	Ракеты с РДТТ

Элементы небесной механики

Небесная механика – раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Небесная механика занимается предвычислением положения Луны и планет, предсказанием места и времени затмений, в общем, определением реального движения космических тел.

Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы (обращение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движение комет и других малых небесных тел). Тогда как перемещение далеких звёзд удается заметить, в лучшем случае, за десятилетия и века, движение членов Солнечной системы происходит буквально на глазах – за дни, часы и даже минуты. Поэтому его изучение стало началом современной небесной механики, рождённой трудами И. Кеплера (1571-1630) и И. Ньютона (1643-1727). Кеплер впервые установил законы планетного движения.

Законы Кеплера

Законы Кеплера – это три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом , где,– массы планеты и Солнца соответственно.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 36).

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где– расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния),a – большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При, и, следовательно,эллипс превращается в окружность.

Второй закон Кеплера (закон площадей).

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади (рис.37).

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий – ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий – наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет (это соотношение справедливо не только для планет, но и для их спутников):

Где и– периоды обращения двух планет вокруг Солнца, аи– длины больших полуосей их орбит.

Ньютон вывел из законов Кеплера закон всемирного тяготения и использовал законы движения и тяготения для решения небесно-механических проблем, не охваченных законами Кеплера. После Ньютона прогресс в небесной механике в основном заключался в развитии математической техники для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Таким образом, принципы небесной механики – это «классика» в том смысле, что и сегодня они такие же, как во времена Ньютона. Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен – в действительности в него входит и масса планеты: , где– масса Солнца, аи– массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Применение результатов небесной механики к движению искусственных спутников и космических кораблей составляет астродинамику

Астродинамика – раздел небесной механики, изучающий движение искусственных космических тел: искусственных спутников, межпланетных станций и других космических кораблей. В сферу задач астродинамики входят расчёт орбит космических кораблей, определение параметров их запуска, вычисление изменений орбит в результате манёвров, планирование гравитационных манёвров и другие практические задачи. Результаты астродинамики используются при планировании и проведении любых космических миссий. Астродинамика выделяется из небесной механики, которая изучает в первую очередь движение естественных космических тел под действием сил тяготения, своей ориентированностью на решение прикладных задач управления космическими кораблями. В связи с этим в астродинамике требуется учитывать и факторы, игнорируемые классической небесной механикой – влияние атмосферы и магнитного поля Земли, гравитационных аномалий, давления солнечного излучения и другие.

Орбита (отлат.Orbita - колея, дорога, путь) – траектория движения материальной точки в наперёд заданной системе пространственных координат для заданной в этих координатах конфигурации поля сил, которые на неё действуют.

В небесной механике это траектория небесного тела в гравитационном поле другого тела, обладающего значительно большей массой (планеты, кометы, астероида в поле звезды). В прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с центром масс, траектория может иметь форму конического сечения (окружности, эллипса, параболы или гиперболы). При этом его фокус совпадает с центром масс системы.

Долгое время считалось, что планеты должны иметь круговую орбиту. После долгих и безуспешных попыток подобрать круговую орбиту для Марса, Кеплер отверг данное утверждение и, впоследствии, используя данные измерений, сделанных Тихо Браге, сформулировал три закона, описывающих орбитальное движение тел.

Кеплеровыми элементами орбиты являются (рис. 38):

Эти элементы однозначно определяют орбиту независимо от её формы (эллиптической, параболической или гиперболической). Основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, плоскость галактики, плоскость земного экватора и т. д. Тогда элементы орбиты задаются относительно выбранной плоскости.

По геометрической форме орбиты делятся на круговые и эллиптические, с тем или иным эксцентриситетом. Также существует разделение на замкнутые и незамкнутые орбиты, в особенности для КЛА.

По углу наклонения i плоскости орбиты к плоскости земного экватора – на экваториальные (i = 0°), полярные (i = 90°) и наклонные (i – любое, кроме 0° и 90°).

По соотношению периода обращения Т об вокруг земного шара с земными или солнечными сутками – на не синхронные, квазисинхронные, синхронно-суточные (геосинхронные), солнечно-синхронные.

Орбитальная скорость тела (планеты,естественногоилиискусственного спутника, звезды) – это скорость, с которой оно вращается вокругбарицентрасистемы, как правило, вокруг более массивного тела (табл. 4).

II ОСНОВЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ.

УРОК № 10. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ.

4. Законы Кеплера.

6. Конические сечения.

7. Ревизия законов Кеплера.

1. Развитие представлений о Солнечной системе.

Первая научная геоцентрическая система мира начала формироваться в трудах Аристотеля и других ученых древней Греции. Свое завершение она получила в работах древнегреческого астронома Птолемея. Согласно этой системе в центре мира расположена Земля, откуда и название геоцентрическая. Вселенная ограничена хрустальной сферой, на которой расположены звезды. Между Землей и сферой движутся планеты, Солнце и Луна. Древние считали, что равномерное круговое движение – это идеальное движение, и что небесные тела именно так и движутся. Но наблюдения показывали, что Солнце и Луна движутся неравномерно и для устранения этого очевидного противоречия, пришлось предположить, что они движутся по окружностям, центры которых не совпадают ни с центром Земли, ни между собой. Еще более сложное петлеобразное движение планет пришлось представить как сумму двух круговых равномерных движений. Такая система позволяла с достаточной для наблюдений точностью рассчитывать взаимное расположение планет на будущее. Петлеобразное движение планет еще долгое время оставалось загадкой и нашло свое объяснение только в учении великого польского астронома Николая Коперника

В 1543 году вышла в свет его книга «О вращении небесных сфер». В ней была изложена новая гелиоцентрическая система мира. Согласно этой системе в центре мира находится Солнце. Планеты, в том числе и Земля, обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам, а Луна вокруг Земли и одновременно с ней вокруг Солнца. Точность в определение положений планет возросла правда ненамного, но именно система Коперника позволила просто объяснить петлеобразное движение планет. Учение Коперника нанесло сокрушительный удар по геоцентрической системе мира. Оно далеко вышло за рамки астрономии дало мощный толчок развитию всего естествознания.

2. Петлеобразное движение планет.

Невооруженным глазом мы можем наблюдать пять планет - Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Планеты относятся к тем светилам, которые не только участвуют в суточном вращении небесной сферы, но еще и смещаются на фоне зодиакальных созвездий, так как они вращаются вокруг Солнца. Если проследить за ежегодным перемещением какой-нибудь планеты, каждую неделю отмечая его положение на звездной карте, то может выявиться главная особенность видимого движения планеты: планета описывает на фоне звездного неба петлю, которая объясняется тем, что мы наблюдаем движение планет не с неподвижной Земли, а с Земли, вращающейся вокруг Солнца.

3. Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон.

Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, они создали науку, которая называется небесной механикой, то есть открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего. Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника. Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это был каторжный труд и гениальное предвидение. Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон в 23 года. В это время 1664 – 1667 годы в Лондоне свирепствовала чума. Тринити колледж , в котором преподавал Ньютон, был распущен на неопределенный срок, дабы не усугубить эпидемию. Ньютон возвращается к себе на родину и за два года совершает переворот в науке, сделав три важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисление, объяснение природы света и закон всемирного тяготения. Исаак Ньютон был торжественно похоронен в Вестминстерском аббатстве. Над его могилой высится памятник с бюстом и эпитафией «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики в руке движение планет, пути комет и приливы океанов… Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого».

4. Законы Кеплера.

Основная задача небесной механики – это исследование движения небесных тел под действием сил всемирного тяготения. А именно расчет орбит планет, комет, астероидов , искусственных спутников Земли, космических аппаратов, звезд в двойных и кратных системах. Все задачи в математическом смысле очень трудны и за редким исключением решаются только численными методами с помощью самых больших ЭВМ. Однако модельные задачи, в которых тела рассматриваются как материальные точки и можно пренебречь влиянием других тел, можно решить в общем виде, т. е. получить формулы для орбит планет и спутников. Простейшей считается задача двух тел, когда одно значительно больше другого и система отсчета связана с этим большим телом.

Именно для этого случая три закона движения планет относительно Солнца были получены эмпирически Иоганном Кеплером. Как же он это сделал? Кеплеру были известны: координаты Марса на небесной сфере с точностью до 2” по данным наблюдений его учителя Тихо Браге; относительные расстояния планет от Солнца; синодические и сидерические периоды обращения планет. Далее он рассуждал примерно так.

Известно положение Марса во время противостояния (см. рис.). В треугольнике АВС буква А обозначает положение Марса, В - Земли, С – Солнца. Через промежуток времени, равный сидерическому периоду обращения Марса (687 дней) планета вернется в точку А , а Земля за это время переместится в точку В’ . Поскольку угловые скорости движения Земли в течение года известны (они равны угловым скоростям видимого движения Солнца по эклиптике), можно вычислить угол АСВ’ . Определив координаты Марса и Солнца в момент прохождения Землей через точку В’ , мы можем, зная в треугольнике 2 угла, по теореме синусов рассчитать отношение стороны СВ’ к АС . Еще через один оборот Марса Земля придет в положение В" и можно будет определить отношение СВ" к тому же отрезку АС и т. д. Таким образом, точка за точкой можно получить представление об истинной форме орбиты Земли, установить, что она является эллипсом, в фокусе которого находится Солнце. Можно определить что, если время движения по дуге M3M4 = времени движения по дуге M1M2, то Пл. SM3M4 = Пл. SM1M2.

F1 и F2–фокусы эллипса, c-фокусное расстояние, а - большая полуось эллипса и среднее расстояние от планеты до Солнца.

5. Закон всемирного тяготения Ньютона.

Исаак Ньютон смог объяснить движение тел в космическом пространстве с помощью закона всемирного тяготения . Он пришел к своей теории в результате многолетних исследований движения Луны и планет. Но упрощенный вывод закона всемирного тяготения можно сделать и из третьего закона Кеплера.

Пусть планеты движутся по круговым орбитам, их центростремительные ускорения равны: , где Т – период обращения планеты вокруг Солнца, R - радиус орбиты планеты. Из III закона Кеплера или . Следовательно, ускорение любой планеты независимо от ее массы обратно пропорционально квадрату радиуса ее орбиты: .

Согласно II закону Ньютона, сила F , сообщающая планете это ускорение, равна: https://pandia.ru/text/78/063/images/image010_95.gif" width="125" height="51 src=">, где М – масса Солнца. Поскольку F = F’ , =https://pandia.ru/text/78/063/images/image013_78.gif" width="161" height="54">, где G = 6,67∙10–11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная ..gif" width="109" height="51">. Сила тяготения между Солнцем и планетой пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними . Этот закон справедлив для любых сферически симметричных тел, а приближенно он выполняется для любых тел, если расстояние между ними велико по сравнению с их размерами. Ускорение, которое, согласно второму закону Ньютона, испытывает тело m , находящееся на расстоянии r от тела M , равно: https://pandia.ru/text/78/063/images/image017_68.gif" width="47" height="47">, где -масса Земли, – расстояние до ее центра. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2. Сплюснутость Земли и ее вращение приводят к отличию силы тяжести на экваторе и возле полюсов: ускорение свободного падения в точке наблюдения может приближенно высчитываться по формуле g = 9,78 ∙ (1 + 0,0053 sin φ ), где φ – широта этой точки.

Необычно ведет себя сила тяжести внутри Земли. Если Землю принять за однородный шар, сила тяжести растет пропорционально расстоянию до центра шара r.

6. Конические сечения.

Конические сечения образуются при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. К коническим сечениям относятся кривые второго порядка: эллипс , парабола и гипербола . Все они является геометрическим местом точек, расстояния от которых до заданных точек (фокусов ) или до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная. Например, эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: F1M+F2M=2а=const. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е =с/а. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность . Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса до эллипса. Ближайшая к фокусу точка эллипса называется перицентром, самая удаленная – апоцентром. Расстояние от фокуса до перицентра равно ПF1 = a (1 – e ), до апоцентра – F1A = a (1 + e ).

7. Ревизия законов Кеплера.

Итак, Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон же вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. В результате этого претерпели изменения первый и третий законы. Первый закон Кеплера был обобщен и его современная формулировка звучит так: Траектории движения небесных тел в центральном поле тяготения представляют собой конические сечения: эллипс, окружность, параболу или гиперболу, в одном из фокусов которой находится центр масс системы . Форма траектории определяется величиной полной энергии движущегося тела, которая складывается из кинетической энергии К тела массы m , движущегося со скоростью v , и потенциальной энергии U тела, находящегося в гравитационном поле на расстоянии r от тела с массой М . При этом действует закон сохранения полной энергии тела. Е=К + U = const ; К = mv 2 /2, U =- GMm / r .

Закон сохранения энергии можно переписать в виде: (2).

Константа h называется постоянной энергии . Она прямо пропорциональна полной механической энергии тела E и зависит только от начального радиус-вектора r0 и начальной скорости v 0. При h < 0 кинетической энергии тела недостаточно для преодоления гравитационной связи. Величина радиус-вектора тела ограничена сверху и имеет место обращение по замкнутой, эллиптической орбите. Такое движение можно уподобить движению маятника – тот же самый переход кинетической энергии в потенциальную во время подъема и обратный – при опускании. Подобное движение называется финитным , т. е. замкнутым. Для h = 0 при неограниченном возрастании радиус-вектора тела его скорость уменьшается до нуля – это движение по параболе. Такое движение – инфинитно , неограниченно в пространстве. При h > 0 кинетическая энергия тела достаточно велика, и на бесконечном расстоянии от притягивающего центра тело будет иметь ненулевую скорость удаления от него – это движение по гиперболе. Таким образом, можно сказать, что тело движется относительно притягивающего центра только по орбитам, являющимися коническими сечениями. Как следует из формулы (2), приближение тела к притягивающему центру всегда должно сопровождаться увеличением орбитальной скорости тела, а удаление – уменьшением в соответствии со вторым законом Кеплера. Второй закон Кеплера не подвергся ревизии, а вот третий был уточнен, и звучит он так: отношение куба большой полуоси. планетной орбиты к квадрату периода обращения планеты вокруг Солнца равно сумме масс Солнца и планеты, г де (3) M Q и m массы Солнца и планеты, соответственно; а и Т – большая полуось и период обращения планеты. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам.

В обобщенном виде этот закон обычно формулируется (4) так: Произведение сумм масс небесных тел и их спутников с квадратами их сидерических периодов обращения относятся как кубы больших полуосей их орбит, где М 1 и М 2 - массы небесных тел, m 1 и m 2 - соответственно массы их спутников, а 1 и а 2 - большие полуоси их орбит, Т 1 и Т 2 - сидерические периоды обращения. Необходимо понять, что закон Кеплера связывает характеристики движения компонентов любых произвольных и независимых космические систем. В эту формулу могут входить одновременно Марс со спутником, и Земля с Луной, или Солнце с Юпитером.

Если мы применим этот закон к планетам Солнечной системы и пренебрежем массами планет М1 и М 2 в сравнении с массой Солнца М☼ (т. е. M 1 << М ☼, M 2 << М ☼), то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером.

8. Определение масс небесных тел.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_47.gif" width="157" height="53 src=">. Подставив сюда значения больших полуосей Земли и Луны и их периодов обращения, получим, что М U=3,3·10-6М ☼. Ну а абсолютную массу Солнца вычислить совсем просто. Воспользовавшись непосредственно формулой (3), для пары Солнце-Земля, отбросив при этом массу Земли в силу ее малости в сравнении с массой Солнца, получим для М ☼=2·1030 кг.

Третий закон Кеплера позволяет вычислить не только массу Солнца, но и массы других звезд. Правда, это можно сделать только для двойных систем, массу одиночных звезд определить таким образом невозможно. Измеряя взаимное положение двойных звезд в течение длительного времени, часто удается определить период их обращения Т и выяснить форму их орбит. Если известно расстояние R до двойной звезды и максимальный αmax и минимальный αmin угловые размеры орбиты, то можно определить большую полуось орбиты а= R (α max + α min )/2 , далее воспользовавшись уравнением (3) мы можем вычислить суммарную массу двойной звезды. Если при этом на основании наблюдений определить расстояние от звезд до центра масс х1 и х2 , а точнее отношение х1/х2, которое сохраняется постоянным, то появляется второе уравнение x 1 / x 2 = m 2 / m 1 , дающее возможность определить массу каждой звезды в отдельности.

Д. З. § 8,9, 10. Задачи 7,8 стр.47.

Вопросы экспресс-опроса

1. Как называется ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты?:

2. Как называется самая удаленная точка орбиты Луны?

3. Как меняется значение скорости движения кометы при ее перемещении от перигелия к афелию?

5. Как зависит синодический период внешних планет от расстояния до Солнца?

6. Почему космодромы стараются строить ближе к экватору?

7. Как изменяется гравитационное поле внутри Земли?

8. Сформулируйте законы Кеплера.

9. Чему равно средний радиус орбиты планеты?

Содержание статьи

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА, раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Небесная механика занимается предвычислением положения Луны и планет, предсказанием места и времени затмений, в общем, определением реального движения космических тел.

Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы – обращение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движение комет и других малых набесных тел. Тогда как перемещение далеких звезд удается заметить, в лучшем случае, за десятилетия и века, движение членов Солнечной системы происходит буквально на глазах – за дни, часы и даже минуты. Поэтому его изучение стало началом современной небесной механики, рожденной трудами И.Кеплера (1571–1630) и И.Ньютона (1643–1727). Кеплер впервые установил законы планетного движения, а Ньютон вывел из законов Кеплера закон всемирного тяготения и использовал законы движения и тяготения для решения небесно-механических проблем, не охваченных законами Кеплера. После Ньютона прогресс в небесной механике в основном заключался в развитии математической техники для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Таким образом, принципы небесной механики – это «классика» в том смысле, что и сегодня они такие же, как во времена Ньютона.

Законы движения Ньютона.

Чтобы лучше понять методы и результаты небесной механики, познакомимся с законами Ньютона и проиллюстрируем их простыми примерами.

Закон инерции.

Согласно этому закону, в системе отсчета, движущейся без ускорения, каждое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения, если на него не действует внешняя сила. Это противоречит положению аристотелевой физики, утверждающему, что для поддержания движения тела требуется сила. Закон Ньютона говорит, что внешняя сила необходима только для приведения тела в движение, для его остановки или для изменения направления и величины его скорости. Темп изменения скорости тела по величине или направлению называется «ускорением» и свидетельствует о том, что на тело действует сила. Для небесных тел обнаруженное из наблюдений ускорение служит единственным указателем действующей на них внешней силы. Понятие о силе и ускорении позволяет с единой позиции объяснить движение всех тел в природе: от теннисного мяча до планет и галактик.

Поскольку объект, движущийся по искривленной траектории, испытывает ускорение, было заключено, что Земля на ее орбите вокруг Солнца постоянно подвергается влиянию силы, которую назвали «гравитацией». Задача небесной механики состоит в том, чтобы определить действующую на небесное тело силу гравитации и выяснить, как она влияет на его движение.

Закон силы.

Если к телу приложена сила, то оно движется ускоренно, причем чем больше сила, тем больше ускорение. Однако одна и та же сила вызывает различное ускорение у разных тел. Характеристикой инертности тела (т.е. сопротивления ускорению) служит его «масса», которую в первом приближении можно определить как «количество вещества»: чем больше масса тела, тем меньше его ускорение под действием заданной силы. Таким образом, второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально его массе. Если из наблюдений известны ускорение тела и его масса, то, используя этот закон, можно вычислить действующую на тело силу.

Закон противодействия.

Этот закон утверждает, что взаимодействующие тела прилагают друг к другу равные по величине, но противоположно направленные силы. Поэтому в системе из двух тел, влияющих друг на друга одинаковой по величине силой, каждое испытывает ускорение, обратно пропорциональное его массе. Значит, лежащая на прямой между ними точка, удаленная от каждого обратно пропорционально его массе, будет двигаться без ускорения, несмотря на то, что каждое из тел движется ускоренно. Эту точку называют «центром масс»; вокруг нее обращаются звезды в двойной системе. Если одна из звезд вдвое массивнее другой, то она движется вдвое ближе к центру масс, чем ее соседка.

Законы Кеплера.

Чтобы изучать движение небесных тел, познакомимся с силой гравитации. Лучше всего это сделать на примере взаимного движения двух тел: компонентов двойной звезды или Земли вокруг Солнца (для простоты предполагая, что другие планеты отсутствуют). К таким системам применимы законы Кеплера. В основе их лежит тот факт, что оба взаимодействующих тела движутся в одной плоскости. Это означает, что и сила гравитации всегда лежит в той же плоскости.

Закон эллипсов.

Первый закон Кеплера утверждает, что планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Фактически этот закон справедлив только для системы из двух тел, например для двойной звезды. Но и в Солнечной системе он выполняется довольно точно, поскольку на движение каждой планеты в основном влияет массивное Солнце, а все остальные тела влияют несравненно слабее.

Закон площадей.

Если отмечать не только положение планеты, но и время, то можно узнать не только форму орбиты, но и характер движения планеты по ней. Оно подчиняется второму закону Кеплера, утверждающему, что линия, соединяющая Солнце и планету (или компоненты двойной звезды), за равные интервалы времени «заметает» равные площади. Например, эта линия между Солнцем и Землей каждые сутки заметает 2ґ10 14 квадратных километров. Из закона площадей следует, что Солнце притягивает планету строго по прямой, соединяющей их центры. Верно и обратное: для любой центральной силы справедлив второй закон Кеплера.

Рассмотрим планету (рис. 1), перемещающуюся из точки A в B за единицу времени. Если бы притяжение к точке O , где расположено Солнце, отсутствовало, то за следующую единицу времени планета переместилась бы в точку Y , такую, что AB = BY . С другой стороны, при наличии притяжения покоящееся в точке B тело переместилось бы за это время на расстояние x . Чтобы найти точку C , в которую действительно переместится планета, проведем прямую CY длиной x параллельно OB . Перпендикуляры, опущенные из точек Y и C на отрезок OB , очевидно, равны между собой. Если отрезок YD есть перпендикуляр из точки Y , а отрезок AE – перпендикуляр из точки A , то и они равны между собой из равенства треугольников YDB и AEB . Следовательно, высоты треугольников OBC и OBA равны, а значит, равны и площади этих треугольников, поскольку OB – их общее основание. Тем самым мы доказали, что за равные времена прямая, соединяющая планету с Солнцем (ее называют «радиусом-вектором» планеты), заметает равные площади. Если бы сила притяжения не была направлена точно к Солнцу, то отрезок CY не был бы параллелен прямой OB , и наше доказательство не было бы справедливым.

Разумеется, приведенное выше доказательство справедливо лишь для бесконечно малых значений углов BOC и BOA . Однако любой отрезок орбиты можно представить как последовательность большого числа таких фигур, поэтому и для него доказательство останется справедливым.

Гармонический закон.

Еще больше можно узнать о силе гравитации из третьего закона Кеплера, связывающего размер планетной орбиты с периодом обращения по ней. Его называют гармоническим законом, поскольку склонный к мистике Кеплер считал эту связь проявлением «небесной гармонии». Закон гласит, что если а – большая полуось эллиптической орбиты планеты, а P – период обращения по ней, то отношение a 3 /P 2 одинаково для всех планет.

Рассмотрим некоторую планету, обращающуюся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса a . Солнце притягивает ее с постоянной по величине силой, сообщая ускорение, необходимое для равномерного изменения направления движения. Найдем это ускорение, вычислив изменение скорости планеты V за единицу времени (рис. 2). За период оборота планеты по орбите, равный 2pa /V , вектор скорости совершает полный поворот. Поэтому изменение скорости за это время равно длине окружности радиуса V . Изменение скорости за единицу времени, т.е. ускорение, составляет

Обозначив орбитальный период через P , мы можем записать скорость как V = 2pa /Р . Тогда из выражения для ускорения получим, что оно пропорционально (a /P ) 2 /a , или a /P 2 . Домножив числитель и знаменатель на a 2 , запишем это выражение так: (a 3 /P 2)Ч(1/a 2). Но, согласно гармоническому закону Кеплера, первый сомножитель постоянен – его значение одинаково для всех тел Солнечной системы. Значит, центростремительное ускорение и вызывающая его сила гравитации пропорциональны второму сомножителю, т.е. изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца. (Хотя мы доказали это только для круговой орбиты, более изощренные математические методы позволяют доказать это и для эллиптических орбит.)

Гармонический закон утверждает, что период обращения планеты зависит только от ее расстояния от Солнца и не зависит от ее массы. Значит, все тела, движущиеся по одной орбите, должны иметь одинаковую скорость.

Закон всемирного тяготения Ньютона.

Анализируя законы Кеплера и наблюдательные данные о движении Луны, Ньютон сформулировал новый закон: каждая частица вещества притягивается к любой другой частице вдоль соединяющей их прямой с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Это всеобщий закон; он не ограничен влиянием Солнца на планеты. Он описывает также взаимодействие двух звезд, планеты и ее спутника, Земли и метеорита, Солнца и кометы. Все вещество во Вселенной подчиняется этому закону, поэтому его называют законом всемирного тяготения. Всеобщность этого закона дополняется его уникальностью: как доказали математики, планетные орбиты имеют вид эллипсов, в фокусе которых находится Солнце, только в том случае, если притяжение меняется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Казалось бы, попытка на основе ньютоновых законов движения и гравитации исследовать относительное движение взаимно притягивающихся тел должна привести к выводу знакомых нам законов Кеплера. Но это решительно не так, ибо законы Кеплера справедливы только в том случае, если: 1) взаимодействуют не более двух тел; 2) тела движутся по замкнутым орбитам; 3) масса одного из тел пренебрежимо мала по сравнению с массой другого. Эти условия делают анализ предельно простым, но они совершенно не обязательны для применения законов движения и гравитации. Используя эти общие законы, мы можем пренебречь указанными ограничениями. Сделаем это, отказываясь каждый раз лишь от одного из них.

Во-первых, можно показать, что орбита может быть не только эллипсом (частный случай которого – окружность), но также параболой или гиперболой. Все эти кривые называют «коническими сечениями», поскольку они получаются при пересечении прямого кругового конуса плоскостью. Круг и эллипс – замкнутые кривые; парабола и гипербола – незамкнутые. Спутник, движущийся по замкнутой орбите, совершает одинаковые обороты снова и снова, а спутник, движущийся по незамкнутой кривой, приближается к главному телу с бесконечно далекого расстояния и, пролетев поблизости от него, вновь удаляется на бесконечность.

Во-вторых, можно показать, что «постоянная» величина a 3 /P 2 в гармоническом законе численно равна сумме масс двух взаимодействующих тел, если a выражено в расстояниях Земли от Солнца (в астрономических единицах), P – в периодах обращения Земли (в годах), а масса – в сумме масс Земли и Солнца. Поскольку в Солнечной системе масса любой планеты не превосходит тысячной доли массы Солнца, величины a 3 /P 2 для всех планет различаются не более чем на 0,1%. Будь планеты массивнее, Кеплер не смог бы сформулировать свой гармонический закон. В общем виде этот закон выглядит так:

где M и m – массы компонентов системы, например Земли и Луны или звезд в двойной системе, причем значения масс могут быть любыми. (Все значения величин в этой формуле должны быть выражены в единой системе, например: астрономическая единица, год, масса Солнца.) Этот закон астрономы используют для определения масс различных космических объектов.

Можно также исследовать поведение трех или более взаимно притягивающихся тел. Закон тяготения позволяет вычислить силу, действующую на каждое из тел со стороны остальных, а законы движения – определить, как изменяется от этого его скорость. В случае двух тел их траектории движения могут быть представлены простыми уравнениями Кеплера. Но если тел больше, то это невозможно сделать с помощью конечного числа уравнений.

Этот последний случай наиболее часто встречается в небесной механике Солнечной системы. Важную проблему трех тел представляет система Земля – Луна – Солнце, но и здесь для точного вычисления орбиты Луны приходится учитывать возмущения со стороны других планет (особенно Юпитера и Сатурна), влияние экваториального вздутия Земли и даже влияние приливов, которые Луна вызывает в океанах Земли.

Интерес к классической небесной механике значительно возрос в последние десятилетия в связи с необходимостью расчета орбит искусственных спутников и межпланетных аппаратов. Мощные компьютеры сделали возможным быстрое решение любой небесно-механической задачи с высокой точностью. Впервые для таких расчетов был использован компьютер SSEC фирмы IBM размером с комнату. Для вычисления положений Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона с интервалом в 40 сут с 1653 по 2060 ему понадобилось 140 ч; сегодня рядовой компьютер делает это менее чем за 2 с. Теперь с помощью мощнейших компьютеров стало возможным решать такие задачи, которые были совершенно не доступны классической небесной механике: можно проследить на протяжении миллиардов лет эволюцию скопления, состоящего из сотен тысяч звезд; можно детально рассчитать, как исказится форма двух сталкивающихся галактик. Компьютер вдохнул новую жизнь в небесную механику.

Обобщённые И. Ньютоном (1643-1727) в законе всемирного тяготения .

Небесная механика в XVII-начале XX веков развивалась на основе ньютоновской классической механики : законов механического движения и всемирного тяготения путём развития математической техники для решения уравнений, выражающих законы Ньютона.

Применение небесной механики к движению искусственных спутников и космических кораблей составляет астродинамику .

Законы движения Ньютона

Закон инерции . Согласно этому закону, в системе отсчета, движущейся без ускорения, каждое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения, если на него не действует внешняя сила. Это противоречит положению аристотелевой физики, утверждающему, что для поддержания движения тела требуется сила. Закон Ньютона говорит, что внешняя сила необходима только для приведения тела в движение, для его остановки или для изменения направления и величины его скорости. Темп изменения скорости тела по величине или направлению называется «ускорением» и свидетельствует о том, что на тело действует сила. Для небесных тел обнаруженное из наблюдений ускорение служит единственным указателем действующей на них внешней силы. Понятие о силе и ускорении позволяет с единой позиции объяснить движение всех тел в природе: от теннисного мяча до планет и галактик.

Поскольку объект, движущийся по искривлённой траектории, испытывает ускорение, было заключено, что Земля на её орбите вокруг Солнца постоянно подвергается влиянию силы, которую назвали «гравитацией». Задача небесной механики состоит в том, чтобы определить действующую на небесное тело силу гравитации и выяснить, как она влияет на его движение.

Закон силы . Если к телу приложена сила, то оно движется ускоренно, причем чем больше сила, тем больше ускорение. Однако одна и та же сила вызывает различное ускорение у разных тел. Характеристикой инертности тела (то есть сопротивления ускорению) служит его «масса», которую в первом приближении можно определить как «количество вещества»: чем больше масса тела, тем меньше его ускорение под действием заданной силы. Таким образом, второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально его массе. Если из наблюдений известны ускорение тела и его масса, то, используя этот закон, можно вычислить действующую на тело силу (На самом деле Ньютону принадлежит другая, более сложная формулировка этого закона; он утверждал, что сила, действующая на тело, есть скорость изменения импульса этого тела).

Закон противодействия . Этот закон утверждает, что взаимодействующие тела прилагают друг к другу равные по величине, но противоположно направленные силы. Поэтому в системе из двух тел, влияющих друг на друга одинаковой по величине силой, каждое испытывает ускорение, обратно пропорциональное его массе. Значит, лежащая на прямой между ними точка, удалённая от каждого обратно пропорционально его массе, будет двигаться без ускорения, несмотря на то, что каждое из тел движется ускоренно. Эту точку называют «центром масс»; вокруг неё обращаются звёзды в двойной системе. Если одна из звёзд вдвое массивнее другой, то она движется вдвое ближе к центру масс, чем её соседка.

Законы Кеплера

Чтобы изучать движение небесных тел, познакомимся с силой гравитации. Лучше всего это сделать на примере взаимного движения двух тел: компонентов двойной звезды или Земли вокруг Солнца (для простоты предполагая, что другие планеты отсутствуют). К таким системам применимы законы Кеплера. В основе их лежит тот факт, что оба взаимодействующих тела движутся в одной плоскости. Это означает, что и сила гравитации всегда лежит в той же плоскости.

Закон эллипсов. Первый закон Кеплера утверждает, что планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Фактически этот закон справедлив только для системы из двух тел, например для двойной звезды. Но и в Солнечной системе он выполняется довольно точно, поскольку на движение каждой планеты в основном влияет массивное Солнце, а все остальные тела влияют несравненно слабее.

Закон площадей. Если отмечать не только положение планеты, но и время, то можно узнать не только форму орбиты, но и характер движения планеты по ней. Оно подчиняется второму закону Кеплера, утверждающему, что линия, соединяющая Солнце и планету (или компоненты двойной звезды), за равные интервалы времени «заметает» равные площади. Например, эта линия между Солнцем и Землей каждые сутки заметает 2⋅10 14 квадратных километров. Из закона площадей следует, что Солнце притягивает планету строго по прямой, соединяющей их центры. Верно и обратное: для любой центральной силы справедлив второй закон Кеплера.

Небесная механика (также - математическая астрономия , теоретическая астрономия ) - раздел астрономии, занимающийся изучением закономерностей в движениях небесных объектов под действием различных природных причин, вызывающих эти движения. Предметом небесной механики является механическая форма движения космической материи , то есть изменение с течением времени взаимного расположения и пространственной ориентации различных космических тел и их систем.

Терминология

Наряду с введенным Пьером Лапласом термином небесная механика (1799 г.) до сих пор находит применение введенный петербургским академиком Ф.Т.Шубертом (1798 г.) и употребляемый почти в том же самом смысле термин теоретическая астрономия , основной и древнейшей частью которой является теория движения больших планет. Широко распространенный в англоязычный литературе термин динамическая астрономия полностью эквивалентен принадлежащему Леонарду Эйлеру термину механическая астрономия с аналогичным содержанием. Так что можно считать все перечисленные термины синонимами. Тем не менее, некоторые отличия в их трактовке существуют, и разные авторы объясняют эти отличия по-разному. Чаще всего считается, что теоретическая астрономия имеет своей целью изучение движения реально существующих небесных тел и открытие управляющих этими движениями законов природы, в то время как небесная механика исследует решения модельных задач о движении абстрактных объектов под воздействием идеализированных природных сил. Иначе говоря, с этой точки зрения теоретическая астрономия есть часть естествознания, тогда как небесная механика - это математическая дисциплина, по применяемым методам вполне аналогичная математической физике . Еще трудами Л. Эйлера, А. Клеро, Ж.-Л. Даламбера, Ж.-Л. Лагранжа, П. Лапласа и других классиков математического естествознания было доказано, что основные проблемы небесной механики сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений . По сути дела, благодаря широчайшему использованию всех средств «чистой», прикладной и вычислительной математики небесная механика вполне могла бы именоваться, например, математической астрономией. Именно так и называлась когда-то (1933 г.) одна из астрономических специальностей механико-математического факультета Московского Государственного университета имени М.В.Ломоносова. В настоящее время небесная механика - одна из специализаций кафедры небесной механики, астрометрии и гравиметрии физического факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

Роль небесной механики в современном естествознании

Существующие теории, описывающие поступательно-вращательные движения небесных тел, составляют ту базу, которая во все времена доставляла человечеству возможность познавать устройство и эволюцию Вселенной. В настоящее время считается общепризнанным мнение, что современные высокоточные теории движения тел Солнечной системы позволили создать материализованную звездными каталогами и астрономическими ежегодниками пространственно-временную систему отсчета , которая является фундаментом для всех исследований, связанных с измерениями пространства и времени в процессе астрономических наблюдений и космических экспериментов.

Исторически сложилось так, что классическая (нерелятивистская) небесная механика унаследовала от античной и средневековой астрономии проблему описания видимых движений небесных светил и прогнозирования их будущих движений на небесной сфере. С древнейших времен именно с наблюдениями астрономических явлений было связано осознание человечеством своего места в мире и постепенное овладение законами природы. Важным этапом на этом пути было создание александрийским астрономом Клавдием Птолемеем (2-й век новой эры) геоцентрической системы мира на основе кинематической схемы видимых движений Солнца, Луны и пяти “блуждающих звезд” (планет Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна). Важный вклад в изучение действительных движений тел Солнечной системы, безусловно, принадлежит немецкому астроному Иоганну Кеплеру, открывшему (в начале 17-го века, используя самые точные астрономические наблюдения датского астронома Тихо де Браге) три эмпирических закона планетных движений, приведших к окончательному преодолению геоцентрического мировоззрения и экспериментальному подтверждению гелиоцентрической системы мира великого польского астронома Николая Коперника. И все же решающим событием в истории естествознания было опубликование в 1687 году книги Исаака Ньютона «Математические Начала натуральной философии» с изложением основ математического “анализа бесконечно малых” (то есть дифференциального и интегрального исчисления), а также трех законов механики и закона всемирного тяготения . Этим фундаментальным сочинением И. Ньютон заложил основы современной небесной механики, так как ему удалось доказать, что именно притяжение планет Солнцем является причиной, ответственной за сформулированные И. Кеплером законы движения планет. Ньютон показал также, что силами взаимного притяжения объясняются и вытекающие из астрономических наблюдений отклонения от законов Кеплера. Более того, доказанная Ньютоном тождественность земной силы тяжести и движущей небесные светила силы гравитационного притяжения способствовала утверждению принципа материального единства мира , что можно с полным правом квалифицировать как подлинный триумф математического естествознания.

Так были утверждены основополагающие принципы механики и теории тяготения, составившие фундамент всей классической физики как точной науки. Великий физик XX-го века Альберт Эйнштейн подтвердил это словами: «физика - младшая сестра небесной механики».

С момента своего возникновения и до сих пор небесная механика служит для естествознания научным полигоном, на котором испытываются новейшие средства математического анализа. Более того, подавляющее большинство всех наиболее эффективных средств и методов теоретического исследования, можно сказать, «генетически» связаны с небесно-механическими проблемами астрономии. В качестве хрестоматийного примера достаточно сослаться на вышеупомянутое «исчисление бесконечно малых», специально разработанное И. Ньютоном (1687 г.) в качестве математического аппарата механики для решения, прежде всего, астрономических задач. Впоследствии с целью создания теорий движения тел Солнечной системы разрабатывались как количественные (аналитические и численные), так и качественные методы небесной механики (например, методы теории устойчивости движения). Да и методы численного интегрирования дифференциальных уравнений , входящие сейчас в число мощнейших средств компьютерного моделирования динамических систем, впервые были разработаны Леонардом Эйлером (первым был метод ломаных Эйлера ) в связи с практическими потребностями наблюдательной астрономии. Астрономами по должности были и такие классики естествознания как “король математиков” К.Ф. Гаусс (директор астрономической обсерватории Геттингенского университета) и «королевский астроном Ирландии» У. Р. Гамильтон (директор астрономической обсерватории Дублинского университета). Вклад обоих этих великих ученых XIX-го века в развитие точных наук трудно переоценить: Гаусс заслуженно считается основателем прикладной математики, развитой им на задачах определения орбит небесных тел из астрономических наблюдений, а теоретико-механический «гамильтонов формализм» нашел широчайшее применение не только в небесной механике, но и в подавляющем большинстве других разделов теоретической физики .

Небесная механика не только может, но по праву обязана считаться первоосновой всего точного естествознания и краеугольным камнем современной научной картины мира.

Основы классической небесной механики

Физическими основами классической небесной механики являются механика Ньютона и теория пространства, времени и тяготения, изложенные в его знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).

В небесной механике для описания движений небесных тел используются, в зависимости от конкретных условий, различные физические модели - идеализированные космические объекты. Например, материальная точка - это обладающее массой и скоростью тело, размеры, форма и внутреннее строение которого в условиях рассматриваемой задачи существенного значения не имеют. В частности, так как взаимные расстояния между Солнцем и большими планетами значительно превышают их линейные размеры, то приближенно их можно рассматривать как материальные точки. Именно благодаря учету этого обстоятельства И. Ньютон смог построить первую динамическую теорию планетных движений.

Положение материальной точки, изображающей конкретный космический объект, всегда определяется по отношению к некоторому, произвольно выбранному небесному телу, называемому телом отсчета . Совокупность тела отсчета, системы координат и часов (в качестве устройства для отсчета времени) образует систему отсчета , к которой принято относить положение и скорость исследуемого объекта в рассматриваемый момент времени.

Траектория движения небесного тела или его орбита - это геометрическое место его положений на рассматриваемом временном интервале, то есть кривая линия, описываемая материальной точкой в трехмерном пространстве. Закон движения , как известная функциональная зависимость состояния движения исследуемого объекта от времени, задается кинематическими уравнениями движения , представляющими собой параметрические уравнения траектории.

Три закона механики Ньютона, равно как и открытый им закон всемирного тяготения - это аксиоматически заданные гипотезы, рациональное объяснение которых лежит вне пределов классической механики и относится к прерогативам метафизики.

Первый закон механики в формулировке самого И.Ньютона гласит: «всякое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока и поскольку оно не будет вынуждено изменить это состояние под воздействием других тел». Другая формулировка первого закона Ньютона (в форме «закона инерции») утверждает: «существуют такие системы отсчета, в которых свободная материальная точка сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения». Такие системы отсчета называются инерциальными . Другими словами, инерциальной является система отсчета, в которой материальная точка (вследствие нулевой равнодействующей внешних сил) не подвержена воздействию со стороны других тел и потому движется по инерции, то есть прямолинейно и равномерно. И любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной. Система же отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, считается неинерциальной системой отсчета.

Эквивалентность механических свойств любых инерциальных систем отсчета составляет содержание механического принципа относительности (принципа относительности Галилея ). Это значит, что во всех инерциальных системах отсчета законы механики действуют одинаково. И, в частности, никакими механическими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно оценить скорость такой системы и тем самым обнаружить ее движение, то есть равномерное прямолинейное движение и покой механически эквивалентны.

Присущее всем материальным телам свойство оказывать сопротивление изменению величины или направления их скорости проявляется как инертность состояния движения. Мерой инертности тела служит его инертная масса , в отличие от гравитационной массы , являющейся мерой его гравитационных свойств и играющей роль гравитационного заряда .

Важной механической характеристикой материальной частицы является количество движения (импульс массы или просто импульс ) - векторная величина, численно равная произведению массы на скорость и имеющая направление вектора скорости.

В качестве меры механического воздействия на тело со стороны других материальных образований (тел и силовых полей), в результате которого изменяется его импульс, выступает сила - векторная величина, в каждый момент времени характеризуемая числовым значением, точкой приложения и направлением в пространстве.

Согласно второму закону Ньютона «сила, действующая на материальную точку в инерциальной системе отсчета, равна произведению ее массы на сообщаемое этой силой ускорение». Это основной закон динамики, так как, устанавливая пропорциональность между ускорением и действующей силой, он тем самым задает динамические уравнения движения частицы в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Именно второй закон механики предполагает эквивалентность инертной и гравитационной масс. Оригинальная формулировке второго закона классической механики, данная самим Ньютоном, такова: «в инерциальной системе отсчета скорость изменения количества движения (т.е. импульса) материальной точки равна действующей на нее силе».

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ей ускорение согласно второму закону Ньютона независимо от других действующих сил, причем результирующее ускорение равно векторной сумме всех ускорений, сообщенных каждой силой в отдельности. Такова формулировка принципа независимости действия сил (принципа суперпозиции ) классической небесной механики.

Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия ) утверждает, что «в инерциальных системах отсчета всякое действие имеет характер взаимодействия. Силы взаимодействия однородны по своей природе, всегда равны по абсолютной величине и противоположно направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения». Третий закон Ньютона - основа и причина существования систем небесных тел, то есть совокупностей космических объектов, рассматриваемых как единое целое.

В рамках классической небесной механики в качестве действующих сил обычно выступают силы гравитационного притяжения (гравитационные силы ), силы упругих деформаций (силы упругости ) и силы сопротивления среды (силы трения ). Силы упругости и силы трения являются частными случаями электромагнитных сил, наряду с гравитационными силами относящихся к классу фундаментальных сил и олицетворяющих (вместе с сильными и слабыми ядерными силами) четыре известных сейчас фундаментальных физических взаимодействия. На космическом пространственно-временном уровне организации материи преобладающим является гравитационное взаимодействие. Именно по этой причине в астрономии главная роль отводится, в первую очередь, силам гравитационной природы.

Согласно закону всемирного тяготения И. Ньютона, «между двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, направленная вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие точки, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними». Закон всемирного тяготения (так называемый закон обратных квадратов ) - это главное звено всей ньютоновой теории пространства, времени и тяготения. По мнению великого французского ученого Жюля Анри Пуанкаре «проверка справедливости закона всемирного тяготения является главной целью небесной механики».

Современный этап развития небесной механики

На протяжении всей истории своего становления небесная механика всегда была источником новых идей, плодотворных методов и даже новых направлений в математике, традиционно являясь благодатным полем приложения усилий для подавляющего большинства выдающихся ученых. Среди знаменитых имен классиков точного естествознания (не только астрономов, но и физиков, и математиков, и механиков) практически отсутствуют такие, кто не воздал бы должную дань уважения небесной механике. Так, например, один из создателей статистической физики знаменитый американский физик Джозайя Уиллард Гиббс известен и как автор одного из методов определения орбит небесных тел из астрономических наблюдений.

Не только в методы решения задач, но и в методику преподавания небесной механики как дисциплины физико-математического цикла существенный вклад внесли многие крупнейшие деятели отечественной науки (Л. Эйлер , М.В. Остроградский , А.М. Ляпунов , А.Н. Крылов , И.В.Мещерский, В.В. Степанов , Н.Д. Моисеев, М.Ф.Субботин, Г.Н.Дубошин, А Н. Колмогоров , В.И. Арнольд и другие).

С началом космической эры и бурным развитием исследований космоса во второй половине XX-го века возникла новая научная дисциплина астродинамика , изучающая движения искусственных небесных тел (искусственные спутники Земли, Луны и других планет, орбитальные станции и межпланетные космические зонды) методами небесной механики. В отличие от классической небесной механики астродинамика учитывает силы искусственного происхождения, в том числе и различные силы негравитационной природы. Это, прежде всего, реактивные силы тяги ракетных двигателей, а также силы, возникающие вследствие нецентральности гравитационных полей тел Солнечной системы. Некоторые старые и забытые модельные задачи классической небесной механики получили вторую жизнь благодаря астродинамике, где за короткое время было получено много выдающихся и даже удивительных результатов.

Это связано, во-первых, c достигнутым фотографической астрометрией повышением точности оптических наблюдений небесных объектов. Во-вторых, с возможностью проведения небесно-механических экспериментов на искусственных спутниках Земли и межпланетных космических аппаратах, в результате которых стали широко использоваться наблюдения допплеровского смещения, а также данные радиолокационных и лазерных наблюдений. Возникшая в связи с этим проблема учета в движении тел Солнечной системы релятивистских эффектов привела к естественному внедрению в практику космических исследований результатов релятивистской небесной механики , опирающейся на теорию относительности Альберта Эйнштейна как релятивистскую теорию пространства-времени и тяготения.

В соответствии с основной идеей общей теории относительности тяготение есть свойство четырехмерного многообразия событий реального мира, которое объясняется изменением метрики пространства-времени, проявляющемся в виде его кривизны. Поэтому, с одной стороны, именно псевдориманова метрика определяет движение и распределение масс, а, c другой стороны, сама метрика определяется распределением и движением материи. Указанная взаимозависимость описывается уравнениями поля Эйнштейна - нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка относительно компонент фундаментального метрического тензора четырехмерного псевдориманова пространства. Таким образом, ситуация в общей теории относительности резко отличается от положения дел в классической нерелятивистской теории, где дифференциальные уравнения движения, задаваемые тремя законами механики Ньютона, постулируются отдельно и независимо от уравнений поля (в форме дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка - линейных уравнений Лапласа и Пуассона для гравитационного потенциала). Но в общей теории относительности уравнения движения материальных тел содержатся в уравнениях гравитационного поля, и проблема вывода уравнений движения из уравнений поля еще не имеет окончательного решения. Известны лишь два строгих частных решения уравнений поля Эйнштейна, представляющих практический интерес для астрономии. Это решение Шварцшильда для сферически симметричного статического гравитационного поля одного неподвижного притягивающего центра, а также решение Керра, описывающее стационарное поле равномерно вращающегося тела сферически симметричной структуры. Что же касается более сложных релятивистских небесно-механических моделей, то точные уравнения до сих пор не выведены даже для задачи двух тел. И пока не существует другого выхода, как прибегать к приближенным методам интегрирования с поиском решений в виде бесконечных рядов по степеням различных малых параметров.

Так как Солнечная система является областью медленных движений и слабых гравитационных полей, учет релятивистских эффектов в движениях составляющих ее тел сводится к введению в элементы их орбит малых поправок, имеющих порядок квадрата отношения орбитальной скорости тела к скорости света.

К числу наиболее впечатляющих достижений небесной механики, окончательно подтвердивших закон всемирного тяготения, обычно принято относить точное предвычисление французским математиком Алексисом Клеро момента прохождения через перигелий знаменитой кометы Галлея (1759 г.), а также открытие «на кончике пера» планеты Нептун (1846 г.) астрономами Д.Адамсом (Англия) и У. Леверрье (Франция) по возмущениям в движении планеты Уран. Наконец, обнаруженное в середине XIX-го столетия тем же У. Леверрье рассогласование (всего лишь на 43 секунды за столетие) с ньютоновой теорией векового движения перигелия Меркурия нашло рациональное объяснение лишь в общей теории относительности А. Эйнштейна (1915 г.), что до сих пор справедливо расценивается как ее первое экспериментальное подтверждение.

К числу достижений XX-го века, безусловно, относится математически безупречное общее решение неограниченной задачи трех тел, полученное К. Зундманом (1912). Координаты и время в этом решении представлены аналитическими функциями независимой переменной, регуляризирующей парные соударения. Однако, из-за хотя и абсолютной, но чрезвычайно (если не сказать, чудовищно!) медленной сходимости степенных рядов Зундмана, они пока не нашли астрономических приложений.

В ГАИШ МГУ в 30-х годах XX-го века в развитие идей А.М. Ляпунова заложены основы теории устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях (Г.Н. Дубошин).

Во второй половине XX-го столетия важные результаты были получены Московской школой небесной механики: в ГАИШ МГУ были выведены дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения небесных тел (Г.Н. Дубошин), разработана небесно-механическая модель - обобщенная задача двух неподвижных центров (Е.П. Аксенов, Е.А. Гребенников, В.Г. Демин), называемая также «моделью Гредеакса», нашедшая целый ряд астрономических приложений, в том числе для построения высокоточных теорий движения искусственных спутников Земли и планет (Е.П, Аксенов, Н.В. Емельянов).

К выдающимся достижениям второй половины прошлого столетия относится также создание математиками теории условно-периодических решений систем дифференциальных уравнений небесной механики (А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, Ю. Мозер), с помощью которой получено решение задачи о нелинейной устойчивости частных решений уравнений движения.

На основе работ И.В. Мещерского по механике тел переменной массы в ГАИШ МГУ заложены основы небесной механики тел переменной массы (Г.Н. Дубошин), с помощью которых в последнее время получили дальнейшее развитие небесно-механические модели движений звезд в тесных двойных системах (Л.Г. Лукьянов).

K крупнейшим достижениям не только небесной механики, но и современной астрометрии относятся созданные в Лаборатории реактивного движения (Jet Propulsion Laboratory) высокоточные американские эфемериды больших планет и Луны: “DE 102 / LE 102” (M. Standish) и последующие их модификации, вплоть до “DE 421/LE 421”. Сюда же относятся и соответствующие французские эфемериды “INPOP 10” (J.Lascar, A. Fienga et al.) и российские эфемериды “EPM 2008” (Е.В. Питьева).

В ГАИШ МГУ и Парижском Институте Небесной механики и Вычисления Эфемерид созданы “Сервер эфемерид естественных спутников планет” и “ База данных естественных спутников планет” (Н.В.Емельянов, J.-U.Arlot).

Как и прежде, современная небесная механика остается интенсивно развивающейся областью астрономии, вносящей весомый вклад в формирование научной картины мира.

Литература

1.М.С.Субботин. Введение в теоретическую астрономию. Наука. Москва, 1968.

2.Г.Н. Дубошин. Небесная Механика. Основные задачи и методы. Изд. 3. Наука. Москва, 1975.

3.Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Г.Н. Дубошина. Изд. 2. Наука. Москва, 1976.

4.Л.Г.Лукьянов, Г.И. Ширмин. Лекции по небесной механике. Эверо. Алматы, 2009.