Современные физические представления базируются на анализе всего предыдущего теоретического и экспериментального опыта физических исследований, единстве физических знаний, дифференциации и интеграции естественных наук и т.п., что позволяет подразделять законы физики на динамические и статистические. Соотношение этих законов дает возможность исследовать природу причинности и причинных отношений в физике.

Наука исходит из признания того, что все существующее в мире возникает и уничтожается закономерно, в результате действия определенных причин, что все природные, социальные и психические явления обладают причинно-следственными связями, беспричинных явлений не бывает. Такая позиция называется детерминизмом в противоположность индетерминизму, отрицающему объективную причинную обусловленность явлений природы, общества и человеческой психики.

В современной физике идея детерминизма выражается в признании существования объективных физических закономерностей. Открытие этих закономерностей - существенных, повторяющихся связей между предметами и явлениями - задача науки, так же как и формулирование их в виде законов науки. Но никакое научное знание, никакая научная теория не могут отразить окружающий мир, его отдельные фрагменты полностью, без упрощений и огрублений действительности. То же касается и законов науки. Они могут лишь в большей или меньшей степени приближаться к адекватному отображению объективных закономерностей, но искажения в ходе этого процесса неизбежны. Поэтому для науки очень важно, какую форму имеют ее законы, насколько они соответствуют природным закономерностям.

В этом отношении динамическая теория, представляющая собой совокупность динамических законов, отражает физические процессы без учета случайных взаимодействий. Динамический закон - это физический закон, отображающий объективную закономерность в форме однозначной связи физических величин, выражаемых количественно. Примерами динамических теорий являются классическая (ньютоновская) механика, релятивистская механика и классическая теория излучения.

Долгое время считалось, что никаких других законов, кроме динамических, не существует. Это было связано с установкой классической науки на механистичность и метафизичность, со стремлением построить любые научные теории по образцу механики И. Ньютона. Если какие-то объективные процессы и закономерности не вписывались в предусмотренные динамическими законами рамки, считалось, что мы просто не знаем их причин, но с течением времени это знание будет получено.

Такая позиция, связанная с отрицанием случайностей любого рода, с абсолютизацией динамических закономерностей и законов, называется механическим детерминизмом. Разработку этого требования обычно связывают с именем П. Лапласа. Он заявлял, что если бы нашелся достаточно обширный ум, которому были бы известны все силы, действующие на все тела Вселенной (от самых больших тел до мельчайших атомов), а также их местоположение, если бы он смог проанализировать эти данные в единой формуле движения, то не осталось бы ничего, что было бы недостоверным. Такому уму открылись бы как прошлое, так и будущее Вселенной.

В середине XIX в. в физике были сформулированы законы, предсказания которых являются не определенными, а только вероятными. Они получили название статистических законов. Так, в 1859 г. была доказана несостоятельность позиции механического детерминизма: Д. Максвелл при построении статистической механики использовал законы нового типа и ввел в физику понятие вероятности. Это понятие было выработано ранее математикой при анализе случайных явлений.

При броске игральной кости, как мы знаем, может выпасть любое число очков от 1 до 6. Предсказать, какое число очков выпадет при очередном броске, нельзя. Мы можем подсчитать лишь вероятность выпадения числа очков. В данном случае она будет равна "Д. Эта вероятность имеет объективный характер, так как выражает объективные отношения реальности. Действительно, если мы бросим кость, какая- то сторона с определенным числом очков выпадет обязательно. Это такая же строгая причинно-следственная связь, как и та, что отражается динамическими законами, но она имеет другую форму, поскольку показывает вероятность, а не однозначность события.

Проблема в том, что для обнаружения такого рода закономерностей обычно требуется не единичное событие, а цикл таких событий; в таком случае мы можем получить статистические средние значения. Если бросить кость 300 раз, то среднее число выпадения любого значения будет равно 300 х *Д = 50 раз. При этом безразлично, бросать одну и ту же кость 300 раз или одновременно бросить 300 одинаковых костей.

Несомненно, что поведение газовых молекул в сосуде гораздо сложнее брошенной кости. Но и здесь можно обнаружить определенные количественные закономерности, позволяющие вычислить статистические средние значения. Д. Максвеллу удалось решить эту задачу и показать, что случайное поведение отдельных молекул подчинено определенному статистическому (вероятностному) закону. Статистический закон - закон, управляющий поведением большой совокупности объектов и их элементов, позволяющий давать вероятностные выводы об их поведении. Примерами статистических законов являются квантовая механика, квантовая электродинамика и релятивистская квантовая механика.

Статистические законы в отличие от динамических отражают однозначную связь не физических величин, а статистических распределений этих величин. Но это такой же однозначный результат, как и в динамических теориях. Ведь статистические теории, как и динамические, выражают необходимые связи в природе, а они не могут быть выражены иначе, чем через однозначную связь состояний. Различается только способ фиксации этих состояний.

На уровне статистических законов и закономерностей мы также сталкиваемся с причинностью. Но это иная, более глубокая форма детерминизма; в отличие от жесткого классического детерминизма он может быть назван вероятностным (современным) детерминизмом. «Вероятностные» законы меньше огрубляют действительность, способны учитывать и отражать те случайности, которые происходят в мире.

К началу XX в. стало очевидно, что нельзя отрицать роль статистических законов в описании физических явлений. Появлялось все больше статистических теорий, а все теоретические расчеты, проведенные в рамках этих теорий, полностью подтверждались экспериментальными данными. Результатом стало выдвижение теории равноправия динамических и статистических законов. Те и другие законы рассматривались как равноправные, но относящиеся к различным явлениям. Считалось, что каждый тип закона имеет свою сферу применения и они дополняют друг друга, что индивидуальные объекты, простейшие формы движения должны описываться с помощью динамических законов, а большая совокупность этих же объектов, высшие, более сложные формы движения - статистическими законами. Соотношение теорий термодинамики и статистической механики, электродинамика Д. Максвелла и электронная теория X. Лоренца, казалось, подтверждали это.

Ситуация в науке кардинально изменилась после возникновения и развития квантовой теории. Она привела к пересмотру всех представлений о роли динамических и статистических законов в отображении закономерностей природы. Был обнаружен статистический характер поведения отдельных элементарных частиц, никаких динамических законов в квантовой механике открыть не удалось. Таким образом, сегодня большинство ученых рассматривают статистические законы как наиболее глубокую и общую форму описания всех физических закономерностей.

Создание квантовой механики дает полное основание утверждать, что динамические законы представляют собой первый, низший этап в познании окружающего нас мира. Статистические законы более полно отражают объективные связи в природе, являются более высокой ступенью познания. На протяжении всей истории развития науки мы видим, как первоначально возникшие динамические теории, охватывающие определенный круг явлений, сменяются по мере развития науки статистическими теориями, описывающими тот же круг вопросов, но с новой, более глубокой точки зрения. Только они способны отразить случайность, вероятность, играющую огромную роль в окружающем нас мире. Только они соответствуют современному (вероятностному) детерминизму.

Понятия системы, основные характеристики системы.

Система – это совокупность элементов, находящихся во взаимодействии и связаны определенной структурой.

Базовый блок любой системы – составляющие ее элементы, каждый элемент характеризуется набором состояний, в которой он может находиться.

Схема функционирования элемента системы:

Для многих систем характерен принцип обратной связи – выходной сигнал может использоваться для коррекции управления.

S(t) – состояние элемента в момент t.

U(t) – управление элементом в момент t.

a(t) – внешняя среда элемента в момент t.

E(t) – случайные воздействия элемента в момент t.

Y(t) – выходной сигнал элемента в момент t.

В общем случае описание функционирования элемента системы производится при помощи системы дифференциальных или разностных уравнений следующего вида:

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E(t),E(t-1),…)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

Примеры структуры системы:

линейная (последовательная):

иерархическая (древовидная):

радиальная (звездообразная):

сотовая или матричная:

многосвязная – с произвольной структурой.

При анализе динамических систем рассмотрим решение следующих задач:

Задача наблюдения – состоит в определении состояния системы в момент времени S(t) по данным выходных величин (о их поведении) в будущем.

Найти S(t) , зная,
для системы с дискретным временем.

для систем с непрерывным временем.

Задача идентификации – в определении текущего состояния S(t) по данным о поведении выходных величин в прошлом.

3. Задачи прогнозирования – определение будущих состояний по данным ткущих и

прошлых значений.

Найти S (t+1), S (t+2),… зная

Задача поиска управления – найти управляющую последовательность U(t), U(t+1),…, U(S), S > t, которая приводит систему из состояния S(t) = X в состояние S(S) = Y.

Задача синтеза максимального управления – состоит в определенной оптимальной последовательности управляющих воздействий U*(t) решающий задачу 4 и максимальную целевую функцию или функциональную:

F(S(t)), t = 0,1,2,…

Типы систем:

По наличию случайных факторов:

Детерминированные

Стохастические – влиянием случайных факторов нельзя принебреч.

2. По учету фактора времени:

Системы с непрерывным временем

Системы с дискретным временем

3. По влиянию прошлых периодов:

Марковские системы – для решения 1 и 2 задач нужна информация только за непосредственно предшествующий или последующий период. Для Марковской систем уравнение (1) принимает вид: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

Немарковские.

Некоторые общие свойства систем:

причинность – возможность предсказывать последствия некоторых последствий в будущем. Част. случай: предопределенность системы означает, что в сущности такие состояния, для которых вся будущая эволюция системы может быть вычислена на базе прошлых наблюдений.

управляемость – состоит в том, что подходящим выбором входного воздействия U можно добиться любого входного сигнала Y.

устойчивость – система является устойчивой, если при достаточно малых изменениях условий ее функционирования поведение системы существенно не изменится.

инерционность – возникновение запаздываний в системе при реакции (запаздывания) на изменение управления и (или) внешней среды.

адаптивность – способность системы изменять поведения и (или) свою структуру в ответ на изменение внешней среды.

Детерминированные динамические системы с дискретным временем.

Многие приложения в экономике требуют моделирования систем во времени.

Состояние системы в момент времени t описывается мерным вектором X(t).

X(t) = ….. , X (t) R n (R – множество всех вещественных чисел)

t

Эволюция системы со временем описывается функцией

G (X 0 , t, ) , где

X 0 – начальное состояние системы;

t – время;

- вектор параметров.

Функция g(*) называют также переходной функцией

Функция g(*) – это правило, описывающее текущее состояние как функцию от времени, начальных условий и параметров.

Например: X t = X 0 (1+) t = g (X 0 , t, )

Функция g(*) как правило не известна. Обычно она задана неявно как решение системы разностных уравнений.

Разностное уравнение или система уравнений – это уравнения в следующей форме: F (t, X t , X t +1 , …, X t + m , ) = 0 (1), где

X t – состояние системы в момент времени t.

Решение уравнения (1) – это последовательность векторов

X t = X 0 , X 1 ,…,

Обычно предполагается, что уравнение (1) можно решить аналитически относительно X t + m и переписать в форме так называемых уравнений – состояний:

X t+m = f (t, X t , X t+1 , …,X t+m-1 , )(2)

Например:

X t +2 = X t + X t +1 /2 + t

Любую систему представляют в форме (2) всегда можно?

Разностное уравнение (2) называется линейным, если F(*) является линейной фуекцией переменных состояний (не обязательно линейно относительно )

В уравнениях (1) и (2) величина m называется порядком системы не является серьезным ограничением, так как системы более высокого порядка путем введения дополнительных переменных и уравнений.

Пример: X t = f (X t -1 , Y t -1) – система 2-го порядка

Введем Y t = X t -1

X t = f(X t -1 , Y t -1)

Таким образом, мы будем рассматривать только системы 1-го порядка следующего вида:

X t -1 = f(t, X t , ) (3)

Уравнение (3) называется автономным, если t не входит в него отдельным аргументом.

Пример:

Рассмотрим динамику основных фондов на предприятии

K t – стоимость основных фондов предприятия в период t.

- норма амортизации, то есть % основных фондов, которые изъяли на предприятии за год.

I t = инвестиции в основные фонды.

K t +1 = (1 - )K t + I t – уравнение 1-го порядка, линейное, если I t = I, тогда

K t +1 = (1 - )K t + I – уравнение автономное

Если I t = I(t) – неавтономное (зависит от t)

Решение уравнения (3) – это последовательность векторов состояния {X t }, удовлетворяющих уравнению (3) для всех возможных состояний. Эта последовательность называется траекторией системы. Уравнение (3) показывает, как состояние системы изменяется от периода к периоду, а траектория системы дает ее эволюцию как функцию начальных условий и состояния внешней среды .

Если известно начальное состояние X 0 , легко получить последовательность решений путем итеративного применения отношения (3), получим переходную функцию следующим образом:

X t +1 = f (t, X t , )

X 1 = f (0, X 0 , ) = g (0, X 0 , )

X 2 = f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )

X t+1 = f (t, X t , ) = f (t, g, (t – 1, X 0 , ),) = g (t, X 0 , )

Если f (*) однозначная, всюду определенна функция, то существует уникальное решение уравнения (3) для любого X 0 .

Если функция имеет вид f (t, X t , ) = / X t – не всюду опрделенная.

Если f (*) непрерывная дифференциальная функция, то решение также будет гладким относительно и X 0

Полученное решение зависит от начального состояния X 0 .

Задача с граничным условием состоит из уравнения (3) и граничного условия, задаваемого в формуле:

X s = X s (4)

Если в уравнении (4) – S = 0 , то оно называется начальным состоянием.

Уравнение (3) имеет много решений, а уравнение (3) + (4) – система – единственное решение, поэтому различают общее и частное решение разностного уравнению (3):

X t g = X(t, c, ) = {X t (X t +1 = f (t, X t , ))} , где параметр е индексирует частное решение.

X t – размер вклада в момент t

Z - % я ставка

X t +1 = X t (1+ z) ; X 0 = …

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 = X 1 (1 + z) = X 0 (1 + z) 2 = g (X 0 , t, z) , где t = 2

Если можно найти общее решение системы (3) . у нас будет полная информация о поведении системы со временем, будет легко определить, как система реагирует на изменение параметров.

К сожалению, общее решение существует только для определенных классов l – го порядка (в частности для линейных систем)

Автономные системы

Поведение автономных систем задается разностным уравнением

X t +1 = f (X t , ) (1)

Автономные системы моделируют ситуации, где структура системы остается неизменной со временем. Это дает возможность использовать для анализа графический метод.

X t =1 = f (t, X t , )

X t = X t +1 – X t = f (t, X t , ) - X t = d (t, X t , ) (2)

Функция d (*) показывает на сколько изменится состояние системы от периода к периоду. В каждой точке X t можно сопоставить вектор X t в соответствующем уравнении (2) Функция d (*) в этом контексте называется векторным полем

X 0 /t = 0

Для автономных систем
и

В автономных системах все системы, попавшие когда-либо в т. Х 0 в последствии следуют одной и той же траекторией. В неавтономных системах поведение зависит также и от того, когда система попала в т. Х 0.

При начальном условии Х 0 для автономных систем применим уравнение (1):

дважды последовательно примененная.

В выше приведенной системе f t означает результат t-кратного итеративного применения функции f () к своему аргументу. Функция f t показывает, куда перейдет система за t периодов из начального состояния.

X t – куда перейдет система из т. Х 0 за t периодов времени.

Функция f t иногда называется потоком системы.

Устойчивые состояния. Периодические равновесия. Стабильность .

С течением времени система переходит к устойчивому состоянию. Поэтому нас будет интересовать асимптотическое поведение системы при t → ∞.

Рассмотрим систему

Следовательно, если
существует, то
.

Точка Х, удовлетворяющая уравнению
называется неподвижной точкой отображения
.

Точка называется в контексте динамических систем устойчивым состоянием или стационарным состоянием.

Неподвижные точки широко используются для изучения долговременного поведения динамических систем.

если
, то 1 в противном случае 0

Теория устойчивости Ляпунова

Точка называется стабильной по Ляпунову, если для любого числа
существует такое число,
, что из условия
для всех
.

–длина вектора на плоскости.

–равновесное состояние.

–норма вектора Х.

Точка будет стабильной по Ляпунову в том случае, когда система один раз попав в окрестность точкии в дальнейшем останется в окрестности.

Точка называется асимптотически устойчивой по Ляпунову если:

Для асимптотически устойчивых систем с течением времени система подходит все ближе и ближе к своему равновесному состоянию.

Система ведет себя так:

–поток системы

–куда перейдет система через к шагов

Периодическим решением динамической системы
называется решение в форме
, где р – период системы или период траектории.

Таким образом, периодическое решение является неподвижной точкой отображения
.

Неподвижная точка

Проверим, есть ли неподвижная точка
:

любая точка является неподвижной.

Скалярные линейные системы

Скалярные линейные системы имеют форму:
(1)

–уравнение, подданное в момент t.

Если в уравнении (1)
, то
, то оно называется однородным.

Однородные линейные системы

Для скалярных систем удобно анализировать поведение системы при помощи фазовой диаграммы. Фазовая диаграмма – это график зависимости

Случай 1. 0

Является аналитически стабильной

–линейная, если а=1, под 45 0 – угол наклона.

Для 0

Случай 2. -1

Затухающие колебания

Случай 3. а>1

Случай 4. а<-1

Случай 5. а = 1

Случай 6. а = 0

Случай 7. а = -1 x t+1 = -x t

Если
, то

, то

Общее решение однородных линейных систем имеет вид:

При
,
,

Неоднородные линейные системы первого порядка

(1)

–управление

При анализе неоднородных систем важную роль играет принцип «суперпозиции».

Он заключается в том, что общее решение уравнения (1) может быть записано в форме уравнения:

(2)

где – общее решение однородного уравнения (1):
и называется комплементарной функцией.

–любое частное решение неоднородного уравнения (1).

Автономное уравнение (1)

1.

2.

Доказательство:

Если – решение уравнения (1), то
.

Если – другое решение уравнения (1), то

Рассмотрим функцию
и проверим, является лирешением уравнения (1).

2. [Необходимость] Мы показали, что если мы начнем с какого-либо решения и добавим к нему
, то мы получим решение уравнения (1). Возникает вопрос, получим ли мы подобным образом все решения уравнения (1). Докажем, что это действительно так:

Пусть у нас есть два решения (1), и:

Обозначим

- однородное,
z t =ca t

-=ca t
=+ca t

Автономные линейные системы

Х t +1 =ax t +U (3)

=+ (2)

= ca t

= a + U
=

=+ ca t

Если

Если

В случае, когда
с течением времени система достигает состояния→ и соответствующим подбором уравнения U мы сможем достигнуть любого состояния. Система (3) называется в таком случае управляемой.

Если
, то с течением времени система примет неограниченные значения вне зависимости от уравнения и, следовательно, будет неуправляемой.

Общее решение (3) имеет вид:

(4)

Рассмотрим граничное условие x s =x s:

(5)

Неавтономные линейные системы

X t +1 =ax t +U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2 +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

Если
, то

Если
, то

Предположим, последовательность U t является ограниченной, т.е. U t ≤для любогоt.

Тогда - пограничное значение.

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Паутинообразная модель рыночного равновесия.

Основные предположения модели:

линейный характер кривой спроса

линейный характер кривой предложения

равенство кривой спроса и предложения

где d 0 , d 1 >0

Предложение:

, где S 1 >0, S 0 ≤0 (так как при цене 0 никто ничего не выпускает).

Равновесие:

d 0 -d 1 P t =S 0 +S 1 P t-1

d 1 P t =d 0 -S 0 –S 1 P t-1 │:d 1

P t =
(*)

Для того чтобы цены с течением времени сходились к равновесной цене, необходимо, чтобы отношение илиS 1 d 1
в системе будут расходящиеся колебания.

на графике кривая

предложения круче, чем кривая спроса.

d 1 p * =d 0 -S 0 -S 1 p *

Для более рационального поведения производители в своих решениях должны учитывать не6 только текущую, но и будущую конъюнктуру рынка. Таким образом, для нормального функционирования рынка важна способность экономических агентов формировать ожидание будущего (делать прогнозы).

Динамика цен на финансовых рынках.

S – предложение недвижимости

D – спрос на недвижимость

P t – стоимость акций в момент t.

d t – дисиденті в момент t.

r –процентная ставка по депозитным счетам.

- ожидаемая стоимость акций в момент t+1.

Арбитражем называется ситуация, позволяющая получить инвестору немедленную прибыль без риска за счет покупки актива по низкой цене и его немедленной перепродажи по более высокой цене.

Считается что рынок является эффективным, если на нем отсутствуют возможности для арбитража.

Воспользуемся принципом отсутствия арбитража, чтобы получить балансовое соотношение для стоимости акций.

(1)

На примере Харьковской недвижимости:

P t =30 тыс.дол.

D t =2 тыс.дол. в год – плата за сдачу жилья

-ожидаемая цена на квартиру в следующем периоде.

=33-2=31 тыс. дол.

МЕХАНИЗМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОЖИДАНИЙ

1. Модель адаптивных ожиданий

=
, где 0≤≤1

0
=

1
=

- метод экспоненциального сглаживания (2)

(1)

(2)

Предположим, что d t =d=const для любого t

0

Общее решение:
, где Р 0 – первоначальная стоимость акций.

a<1,
a t P 0
0

фундаментальная стоимость акций.

a t P 0 – спекулятивная составляющая

2. Модель рациональных ожиданий

Недостаток – низкая скорость обучения участников рынка. Это открывает возможность для интертепорального арбитража, т.е. спекуляции на прогнозируемых изменениях курса акций в последующих периодах.

Чтобы устранить это логическое противоречие, в 1970-х была предложена модель рациональных ожиданий (Р. Лукас).

Суть модели – в среднем рынок не может систематически ошибаться в оценке курса активов. Применительно к нашей модели это означает следующее: инвесторы не должны систематически ошибаться в оценке стоимости акций.

- несмещенность оценки, т.е.
- является несмещенной оценкойP t +1 ; или
=P t +1 +E t

E t – ошибка оценивания

Рассмотрим экстремальный вариант модели рациональных ожиданий (модель с полным предвидением), в которой ошибка оценивания равна 0.

С модели с полным предвидением предположим, что E t =0, т.е.
=P t +1

Рассмотрим динамику цен на акции в модели с полным предвидением.

Условие арбитража:

(1+r) P t =dt

(1+r) P t =dtP t+1

=P t+1

P t+1 =(1+r) Pt-d (3)

P t является нестабильной, P t →, поскольку (1+r) >, если только не начинаем движение с неподвижной точки:

Если P t = , тоP t + k =

d=0, P t +1 =(1+r) Pt

В модели полного предвидения ожидания инвесторов играют роль самовыражающегося пророчества, цены на активы могут неограниченно расти, т.к. инвесторы считают, что они будут расти. Таким образом, в такой модели спекулятивная компонента стоимости акций доминирует над ее фундаментальным значением.

Динамические и статистические теории

Одна из главных задач любой научной теории заключается в том, чтобы по заданному состоянию системы предсказать ее будущее или восстановить прошлое состояние. Однако, поскольку состояние системы можно описывать по-раз­но­му (пп. 3.4.1, 3.4.2, 3.5.3), различается и характер предсказаний. В этом отношении все теории можно разделить на два класса: динамические и статистические . В динамической теории состояние системы определяется значениями характеризующих ее физических величин. Соответственно, динамическая теория позволяет предсказывать значения физических величин, характеризующих систему.

Исторически первая научная теория - классическая механика - теория динамическая. Она стала образцом, по которому кроились другие разделы классического естествознания: термодинамика, электродинамика, теория относительности, теория химического строения, систематика живых существ… Сформировалось убеждение, что динамические теории несут наиболее фундаментальное знание.

Теория, в которой состояние системы определяется заданием вероятностей тех или иных значений физических величин, относится к статистическим теориям.

Статистическая теория позволяет предсказывать лишь вероятности тех или иных значений физических величин, характеризующих систему.

Первые статистические теории стали возникать в XIX веке: молекулярно-ки­не­ти­чес­кая теория и, более широко, статистическая механика в физике, дарвиновская теория эволюции (основанная на представлениях о неопределенной, то есть, случайной изменчивости), менделевская генетика. Большинство же ныне действующих статистических теорий появились уже в XX веке. Со статистическими теориями в естествознание вошло фундаментальное понятие флуктуации .

Флуктуация - это случайное отклонение характеристик системы
от наиболее вероятного или среднего значения.

Причины флуктуаций могут быть различными. Например, голубой цвет неба, в конечном счете, обусловлен тем, что количество молекул воздуха в заданном объеме не постоянно: оно все время колеблется вокруг среднего значения. Причина - беспорядочное тепловое движение молекул: в какой-то момент больше молекул покинет данный объем, чем влетит в него извне, а в следующий момент - наоборот. Нулевые колебания полей в физическом вакууме (п. 3.3.4) - это тоже флуктуации, но уже квантового происхождения. В биологии флуктуации скрываются за терминами «не­о­пре­де­лен­ная изменчивость», «му­та­ции»; здесь их основная причина - влияние множества неучитываемых факторов. Понятие флуктуации фактически ис­поль­зу­ет­ся и в социальных науках, когда говорится о субъ­ек­тив­ных факторах общественных процессов, роли личности в истории и т.д.

Динамические теории не учитывают (и не допускают возможности) флуктуаций; статистические - допускают, учитывают и даже выводят на передний план.

История развития науки показывает, как первоначально возникшие динамические теории сменяются статистическими, описывающими тот же круг явлений в макроскопических системах, в которых не рассматривают поведение отдельных элементов этой системы (например, единичной молекулы в газе) и изменения их характеристик, а оперируют величинами, характеризующими систему в целом, т.е. макропараметрами (например, давление в газе, плотность газа и т.д.). таким образом, можно сказать, что динамические теории строятся на основании усреднения законов поведения громадного числа частиц в равновесных (или слаборавновесных) условиях, и не учитывают вариации, полученных на основании этих теорий, результатов, которые бы изменялись под влиянием на систему окружающей ее среды. В реальных процессах всегда происходят неизбежные отклонения – флуктуации .Флуктуации – это случайные отклонения параметров системы (или всей системы) от средних значений параметров (или среднего, т.е. наиболее вероятного состояния системы).

Когда флуктуации значительны, в сложных системах с большим числом элементов, которые к тому же зависят от постоянно меняющихся внешних условий, статистические законы глубже и точнее описывают исследуемые процессы.

Главное отличие статистических законов от динамических – в учете случайного (флуктуаций).

В современном естествознании законы динамического типа сочетаются с законами статистического типа. Законы динамического типа используются для систем и процессов, в которых допустимо пренебречь влиянием реально существующих случайных факторов. Если же этого сделать нельзя, то применяют статистические теории, которые дают более глубокое, детальное и точное описание реальности.

Резюмируем все вышесказанное.

Состояние системы в естественных науках может задаваться :

Значениями измеряемых величин, характеризующих эту систему, на данный момент времени

Вероятностями, с которыми та или иная величина, характеризующая систему, принимает заданные значения.

Динамические научные теории :

Описывают состояние системы значениями измеряемых величин, характеризующих систему

Не учитывают и не позволяют описывать флуктуации – случайные отклонения системы от наивероятнейшего состояния

Не используют аппарат теории вероятности.

Статистические научные теории :

Позволяют рассчитывать и предсказывать лишь вероятность того, что величина, характеризующая систему, примет то или иное значение

Описывают состояние системы на языке вероятностей, с которыми та или иная величина, характеризующая систему, принимает заданные значения

Учитывают случайные отклонения от нормы

Описывают вероятное поведение систем, состоящих из огромного числа элементов.

Соответствие между динамическими и статистическими законами :

Динамической теории соответствует более точный статистический аналог, который полнее и глубже описывает реальность

Статистическая теория всегда описывает более широкий класс явлений, чем ее динамический аналог

Статистические законы более полно и глубоко отражают объективные связи в природе, т.к они учитывают реально существующую в мире случайность

Классическая механика Ньютона (динамическая теория) является приближением квантовой механики (статистической теории) при описании движения макрообъектов

Все фундаментальные статистические теории содержат в качестве своего приближения соответствующие динамические теории при условии, что можно пренебречь случайностью.

Динамическими теориями являются :

Механика

Электродинамика

Термодинамика

Теория относительности

Статистическими теориями являются :

Молекулярно-кинетическая теория газов

Квантовая механика, другие квантовые теории

Эволюционная теория Дарвина

Основные понятия статистических теорий :

Случайность (непредсказуемость)

Вероятность (числовая мера случайности)

Среднее значение величины

Флуктуация – случайное отклонение системы от среднего (наиболее вероятного состояния).

Страница 42 из 42

Динамические и статистические законы

Наука исходит из признания того, что все существующее в мире возникает и уничтожается закономерно, в результате действия определенных причин, что все природные, социальные и психические явления связаны между собой причинно-следственными связями, а беспричинных явлений не бывает. Такая позиция называется детерминизмом в противоположность индетерми­низму, отрицающему объективную причинную обусловленность явлений природы, общества и человеческой психики.

В современной физике идея детерминизма выражается в признании существования объективных физических закономерностей. Открытие этих закономерностей – существенных, повторяющихся связей между предметами и явлениями – задача науки, так же, как и формулирование их в виде законов науки, которые являются нашим знанием о природных закономерностях.

Однако, как показывает история науки, никакое научное знание, никакая научная теория не могут отразить окружающий мир, его отдельные фрагменты полностью, без упрощений и огрублений действительности. То же самое касается и законов науки. Они могут лишь в большей или меньшей степени приближаться к адекватному отображению объективных закономерностей, но искажения в ходе этого процесса неизбежны. Поэтому для науки очень важно, какую форму имеют ее законы, насколько они соответствуют природным закономерностям.

Физика знает два типа физических законов (теорий) – динамические и статистические законы.

Динамический закон – это физический закон, отображающий объективную закономерность в форме однозначной связи физических величин, выражаемых количественно.

Динамическая теория - физическая теория, представляющая совокупность динамических законов.

Исторически первой и наиболее простой теорией такого рода явилась классическая механика Ньютона. Она претендовала на описание механического движения, т.е. перемещения в пространстве с течением времени любых тел или частей тел друг относительно друга с какой угодно точностью. О механике Ньютона, как и об электродинамике Максвелла, являющейся еще одной динамической теорией, мы говорили выше. Другими динамическими теориями являются механика сплошных сред, термодинамика и общая теория относительности (теория гравитации).

Долгое время считалось, что никаких других законов, кроме динамических, просто не существует. Это было связано с установкой классической науки на механистичность и метафизичность, со стремлением построить любые научные теории по образцу механики Ньютона. Представление о том, что все объективные закономерности должны выражать однозначную связь физических объектов, оставалось незыблемым.

Такая позиция, связанная с отрицанием случайностей любого рода, с абсолютизацией динамических закономерностей и законов, называется механическим детерминизмом. Формулирование этого требования в жесткой форме обычно связывают с именем Пьера Лапласа. Согласно провозглашенному Лапласом принципу, все явления в природе предопределены с «железной» необходимостью. Случайному как объективной категории нет места в нарисованной Лапласом картине мира. Только ограниченность наших познавательных способностей заставляет рассматривать отдельные события в мире как случайные. В силу этих причин, а также отмечая роль Лапласа, классический механический детерминизм называют еще жестким, или лапласовским, детерминизмом.

Необходимость отказа от классического детерминизма в физике стала очевидной после того, как выяснилось, что динамические законы не универсальны и не единственны. Более того, оказалось, что при описании движения отдельных макроскопических тел, которое всегда считалось сферой действия динамических законов, осуществление идеального классического детерминизма практически невозможно.

Кроме того, начальные параметры любых механических систем невозможно фиксировать с абсолютной точностью, поэтому точность предсказания со временем уменьшается. Для каждой механической системы существует некоторое критическое время, начиная с которого невозможно точно предсказать ее поведение.

Несомненно, что лапласовский детерминизм с определенной степенью точности отражает реальное движение тел, и в этом отношении его нельзя считать ложным. Но мы должны признать, что жесткий механический детерминизм очень сильно огрубляет реальные природные процессы. Реальная действительность намного разнообразнее, а жесткий детерминизм отражает лишь отдельные ее стороны. Мы должны постоянно помнить об этом и не допускать абсолютизации классического детерминизма.

В середине XIX в. в физике были сформулированы законы, предсказания которых не являются определенными, а только вероятными. Они получили название статистических законов.

Представление о законах и закономерностях особого типа, в которых связи между величинами, входящими в теорию, неоднозначны, впервые ввел Максвелл в 1859 г. при построении статистической механики – первой фундаментальной теории нового типа. Он первым понял, что при рассмотрении систем, состоящих из огромного числа частиц (в данном случае – молекулы газа в сосуде), нужно ставить задачу иначе, чем в механике Ньютона. Для этого Максвелл ввел в физику понятие вероятности, выработанное ранее математиками при анализе случайных явлений, в частности азартных игр.

При бросании игральной кости, как мы знаем, может выпасть любое число очков от 1 до 6. Предсказать, какое число очков выпадет при данном броске кости, нельзя. Мы можем подсчитать лишь вероятность выпадения любого числа очков. В данном случае она будет равна 1/6. Эта вероятность имеет объективный характер, так как выражает объективные отношения реальности. Действительно, если мы бросим кость, какая-то сторона с определенным числом очков выпадет обязательно. Это такая же строгая причинно-следственная связь, как и та, что отражается динамическими законами, но она имеет другую форму, так как показывает вероятность, а не однозначность события.

Проблема в том, что для обнаружения такого рода закономерностей обычно требуется не единичное событие, а цикл подобных событий. В данном случае мы можем получить статистические средние значения. Так, если бросить кость 300 раз, то среднее число выпадения любого значения будет равно 300 ? 1/6 = 50 раз. При этом совершенно безразлично, бросать одну и ту же кость или одновременно бросить 300 одинаковых костей.

Статистические законы, в отличие от динамических законов, отражают однозначную связь не физических величин, а статистическое распределение этих величин. Результат, изменение состояния, которое определяется на основе соответствующих уравнений, также выражается не значениями физических величин, а вероятностями этих значений внутри заданных интервалов. Но это такой же однозначный результат, как и в динамических теориях. Ведь статистические теории, как и динамические теории, выражают необходимые связи в природе, а они не могут быть выражены иначе, чем через однозначную связь состояний. Различается только способ фиксации этих состояний.

На уровне статистических законов и закономерностей мы также сталкиваемся с причинностью. Но это иная, более глубокая форма детерминизма. В отличие от жесткого классического детерминизма, он может быть назван вероятностным (современным) детерминизмом. Эти законы меньше огрубляют действительность, имеют менее сильные гносеологические предпосылки, поэтому они способны учитывать и отражать те случайности, которые происходят в мире.

Сегодня любой известный в природе процесс более точно описывается статистическими законами. Но окончательно это стало ясно после создания квантовой механики – статистической теории, описывающей явления атомарного масштаба, то есть движение элементарных частиц и состоящих из них систем. Тогда была выяснена принципиальная невозможность динамического описания этих процессов.