верификация систем взаимодействующих процессов;

Языки описания документов и объектно-ориентированных программ;

Оптимизация логических программ др.

Об этом можно судить по выступлениям на семинаре " Software 2000…" ученых и специалистов.

Дуг Росс: "…80 или даже 90 % информатики ( Computer Science ) будет в будущем основываться на теории конечных автоматов…"

Herver Gallaire: "Я знаю людей из "Боинга", занимающихся системами стабилизации самолетов с использованием чистой теории автоматов. Даже трудно себе представить, что им удалось с помощью этой теории. "

Brian Randell: "Большая часть теории автоматов была успешно использована в системных программах и текстовых фильтрах в ОС UNIX . Это позволяет множеству людей работать на высоком уровне и разрабатывать очень эффективные программы".

1.1. Основные понятия и определения.

Простейший преобразователь информации (рис.1.1,а) отображает некоторое множество элементов информации Х , поступающее на вход, в некоторое множество на выходе Y . Если множества Х и Y являются конечными и дискретными, то есть преобразование осуществляется в дискретные моменты времени, то такие преобразователи информации называются конечными преобразователями. Элементы множеств Х и Y в этом случае предварительно кодируют двоичными кодами и строят преобразование одного множества в другое.

Результат преобразования зачастую зависит не только от того, какая информация в данный момент появилась на входе, но и от того, что происходило раньше, то есть от предыстории преобразования. Например, один и тот же вход - извинение соседа после того, как он вам наступил на ногу в переполненном автобусе - вызовет у вас одну реакцию в первый раз и совсем другую - в пятый раз.

Рис. 1.1.

Таким образом, существуют более сложные преобразователи информации (ПИ), реакция которых зависит не только от входных сигналов в данный момент, но и от того, что было раньше, от входной истории. Такие ПИ называются автоматами (схемами с памятью). В этом случае говорят об автоматном преобразовании информации (рис.1.1,б). На один и тот же входной сигнал автомат может реагировать по-разному, в зависимости от состояния, в котором он находился. Автомат меняет свое состояние с каждым входным сигналом.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 1Карпов Ю.Г. Теория автоматов-СПб.:Питер, 2003 . Автомат , описывающий поведение "умного" отца.

Опишем поведение отца, сын которого учится в школе и приносит двойки и пятерки. Отец не хочет хвататься за ремень каждый раз, как только сын получит двойку, и выбирает более тонкую тактику воспитания. Зададим такой автомат графом , в котором вершины соответствуют состояниям, а дуга из состояния s в состояние q , помеченное x/y , проводится тогда, когда автомат из состояния s под воздействием входного сигнала х переходит в состояние q с выходной реакцией y . Граф автомата , моделирующего умное поведение родителя, представлен на рис.1.2. Этот автомат имеет четыре состояния , два входных сигнала - оценки и выходные сигналы , которые будем интерпретировать как действия родителя следующим образом:

Брать ремень;

Ругать сына;

Успокаивать сына;

Надеяться;

Радоваться;

Ликовать.

Рис. 1.2.

Сына, получившего одну и ту же оценку - двойку, ожидает дома совершенно различная реакция отца в зависимости от предыстории его учебы. Например, после третьей двойки в истории сына встретят ремнем, а в истории будут успокаивать и т.д.

Конечный автомат может быть реализован как программно, так и аппаратно. Программную реализацию можно выполнить на любом языке высокого уровня разными способами. На рис.1.3 представлена блок-схема программы, реализующей поведение автомата примера 1. Нетрудно увидеть, что топология блок-схемы программы повторяет топологию графа переходов автомата . С каждым состоянием связана операция NEXT , выполняющая функцию ожидания очередного события прихода нового входного сигнала и чтения его в некоторый стандартный буфер х , а также последующий анализ того, какой это сигнал. В зависимости от того, какой сигнал пришел на вход, выполняется та или иная функция и происходит переход к новому состоянию.

Рис. 1.3.

Аппаратную реализацию автомата рассмотрим во второй части этого раздела.

Пример 2. "Студент"

Автомат , модель которого представлена на рис.1.4 , описывает поведение студента и преподавателей.

Рис. 1.4.

Состояния;

- входные сигналы: "н", "2" и "5".

Выходные реакции:

Пример 3 1 . Электронные часы (рис.1.5).

Электронные часы разнообразных функциональных возможностей являются одним из наиболее широко применяемых в быту электронных приборов, управление которыми построено на основе конечноавтоматной модели. Они обычно показывают: время, дату; у них имеется функции такие как "установка времени и даты", "Секундомер", "Будильник"и т.п. Упрощенная структурная схема электронных часов показана нарис.1.5

Рис. 1.5.

Регистры отображают либо время, либо дату, либо секундомер в зависимости от "Управления". Устройство управления построено на основе модели конечного автомата . Конечный автомат реагирует на нажатия кнопки "а" на корпусе переходом в состояние "Установка минут", в котором событие нажатия кнопки "b" вызовет увеличение числа.

6 Основные понятия и определения теории абстрактных авто­матов (лекция №9)
Цифровой (дискретный) автомат (ЦА) – устройство, которое осуществляет прием, хранение и/или преобразование дискретной информации по некоторому алгоритму. Примерами ЦА могут служить живые организмы, процессоры, бытовая техника калькуляторы – это реальные устройства, а также есть абстрактные, например, модели алгоритмов. ЦА относятся к последовательным устройствам. Этот класс устройств определяется тем , что значение выходов зависит не только от входных значений, но и от текущего состояния устройства. Т.е. вводится понятие – состояние . Для того чтобы хранить данные о состоянии, в котором находится устройство в ЦА используются запоминающие элементы – триггеры.
6.1 Математическая модель цифрового автомата
Цифровой автомат - устройство, характеризующееся набором внутренних состояний в которое оно попадет под воз­действием команд заложенной в него программы. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется в определенный момент времени.

Математической моделью ЦА (а в общем случае любого дискретного устройства) является так называемый абстракт­ный автомат, определенный как 6-компонентный кортеж: S=(A,X,Y,,,а 1) у которого:

1. 
   A={a 1 , a 2 , ... ,a m } – алфавит состояний – множество состояний, в которых может находиться проектируемый цифровой автомат. Количество состояний играет важную роль при реализации ЦА. Чем больше состояний, тем больше требуется запоминающих элементов(триггеров) для построения ЦА.
2. 
   X={x 1 , x 2 , ... ,x f } – алфавит входных значений – множество значений, которые могут поступать на вход ЦА. Например , если у автомата двухразрядный двоичный вход, то элементами алфавита могут быть 00, 01, 10 и 11.
3. 
   Y={y 1 , y 2 , ..., y g } – алфавит выходных значений – множество значений, которые могут быть установлены на выходе ЦА.
4. 
   : AXA – функция переходов a(t+1)=  (x(t),a(t)) . Функция переходов определяет, в какое состояние a(t+1) перейдет автомат под воздействием входного сигнала x(t) , если в текущий момент времени автомат находится в состоянии a(t).
5. 
    : AZW – функция выходов y (t )=  (a (t ), x (t )). Функция выходов определяет какое выходное значение y (t ) будет установлено на выходе автомата в зависимости от входного значения x (t ) и текущего состояния a (t ) .
6. 
   a i  A - начальное состояние автомата –состояние в которое устанавливается ЦА после подачи питания или после сброса

Под алфавитом здесь понимается непустое множество попарно различных символов. Элементы алфавита называются буквами , а конечная упорядоченная последовательность букв - словом в данном алфавите.

Рисунок 6.1 – Абстрактный автомат

Абстрактный автомат (рисунок 6.1) имеет один вход и один выход. Автомат работает в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения t = 0,1,2,... В каждый момент t дискретного времени автомат находится в некотором состоянии a(t) из множества состояний автомата , причем в начальный момент t = 0 он всегда находится в начальном со­стоянии a(0)=a1. В момент t, будучи в состоянии a(t), автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита X(t)  Z. В соответствии с функцией выходов он выдаст в тот же момент времени t букву выходного алфавита y(t)=(a(t), z(t)) и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее состояние a(t+1)=, a(t)  A, y(t)  Y.

Смысл понятия абстрактного автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов вход­ного алфавита X во множество слов выходного алфавита Y. Т.е. если на вход автомата, установленного в начальное состояние a1, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита x(0), x(1),... - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y(0), y(1),... - выходное слово. Т.о. выходное слово = (входное слово), где  - отображение, осуществляемое абстрактным автоматом.

На уровне абстрактной теории понятие "работа автомата" понимается как преобразование входных слов в выходные. Можно сказать, что в абстрактном автомате отвлекаемся от его структуры - содержимого прямоугольника (рисунок 6.1), рассматривая его как "черный ящик", т.е. основное внимание уделяем поведению автомата относительно внешней среды.

Понятие состояния в определении автомата введено в связи с тем, что часто возникает необходимость в описании пове­дения систем, выходы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени, но и от некоторой пре­дыстории, т.е. от сигналов , которые поступали на входы системы ранее. Состояния как раз и соответствуют некоторой памяти о прошлом, позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходной сигнал как функцию со­стояния и входа в данный момент времени.

6.2 Классификация цифровых автоматов

Рассмотренные выше абстрактные автоматы можно разделить на:

1. 
   полностью определенные и частичные;
2. 
   детерминированные и вероятностные;
3. 
   синхронные и асинхронные;

Полностью определенным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов и функция выходов определены для всех пар (a i , z j).

Частичным называется абстрактный автомат, у которого функция переходов или функция выходов , или обе эти функ­ции определены не для всех пар (a i , z j).

К детерминированным относятся автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находя­щийся в некотором состоянии a i , под действием любого входного сигнала z j не может перейти более, чем в одно состоя­ние.

В противном случае это будет вероятностный автомат , в котором при заданном состоянии a i и заданном входном сиг­нале z j возможен переход с заданной вероятностью в различные состояния.

Для определения синхронных и асинхронных автоматов вводится понятие устойчивого состояния . Состояние a s автомата называется устойчивым, если для любого состояния a i и входного сигнала z j таких, что (a i , z j) = a s имеет место (a s , z j) = a s , т.е. состояние устойчиво, если попав в это состояние под действием некоторого сиг­нала zj, автомат выйдет из него только под действием другого сигнала z k , отличного от z j .

Автомат, у которого все состояния устойчивы - асинхронный .

Автомат называется синхронным , если он не является асинхронным.

Абстрактный автомат называется конечным , если конечны множества А = {a 1 , a 2 , ..., a m }, Z = {z 1 , z 2 , ..., z f }, W = {w 1 , w 2 , ..., w g }. Автомат носит название инициального , если в нем выделено начальное состояние a 1 .
6.3 Разновидности цифровых автоматов
На практике наибольшее распространение получили два класса автоматов - автоматы Мили (Mealy) и Мура (Moore).

Закон функционирования автомата Мили задается уравнениями:

a(t+1) = (a(t), z(t)); w(t) = (a(t), z(t)), t = 0,1,2,...
Закон функционирования автомата Мура задается уравнениями:
a(t+1)=(a(t), z(t)); w(t) = (a(t)), t = 0,1,2,...
Из сравнения законов функционирования видно, что, в отличие от автомата Мили, выходной сигнал в автомате Мура зависит только от текущего состояния автомата и в явном виде не зависит от входного сигнала. Для полного задания автомата Мили или Мура дополнительно к законам функционирования , необходимо указать начальное состояние и оп­ределить внутренний, входной и выходной алфавиты.

Кроме автоматов Мили и Мура иногда оказывается удобным пользоваться совмещенной моделью автомата, так на­зываемым С- автоматом.

Абстрактный С- автомат можно представить в виде устройства с одним входом, на который поступают сигналы из входного алфавита X, и двумя выходами, на которых появляются сигналы из алфавитов Y и U. Отличие С - автомата от моделей Мили и Мура состоит в том, что он одновременно реализует две функции выходов  1 и  2 , каждая из которых характерна для этих моделей в отдельности. Закон функционирования С- автомата можно описать следующими уравнениями:
а(t+1) =(a(t), z(t)); w(t) = 1 (a(t), z(t)); u(t) =  2 (a(t)); t = 0, 1, 2, ...
Выходной сигнал U h = 2 (a m) выдается все время, пока автомат находится в состоянии a m . Выходной сигнал Wg= 1 (a m , z f) выдается во время действия входного сигнала Z f при нахождении автомата в состоянии a m .
7 Способы описания и задания автоматов (лекция№10)
Для того, чтобы задать автомат, необходимо описать все компоненты кортежа S=(A, X, Y, , , а 1). Множества А, X, Y описываются и задаются простым перечислением своих элементов. Среди многообразия различных способов заданий функций  и  (следовательно и всего автомата в целом) наибольшее распространение получили табличный и графиче­ский.
7.1 Табличный способ описания цифровых автоматов

При табличном способе описания цифровых автоматов применяется два вида таблиц – таблица переходов и таблица выходов.

Таблица переходов отображает функцию переходов. Строкам таблицы соответствуют состояния автомата, т.е. в таблице столько строк, сколько состояний у автомата. Столбцам таблицы соответствуют входные значения , которые могут поступать на входы ЦА, т.е. столбцом столько – сколько элементов во входном алфавите. На пересечении i-столбца и j-строки в ячейке таблицы указывается состояние в которое перейдет ЦА под воздействием входного сигнала x i (которому соответствует i-й столбец) из состояния a j (которому соответствует j-я строка). Таблица переходов приведена на рисунке 6.2

	x 1	x 2	…	x m
a 1	a 2	a 1	…	a 2
a 2	a n-1	a 3	…	a 1
…			…
a n	-	a n	…	a 2

Рисунок 6.2 – Таблица переходов ЦА
Таблица переходов имеет одинаковый вид как для автомата Мура, так и для автомата Мили. Для частичных автоматов Мили и Мура в рассмотренных таблицах на месте не определенных состояний и выходных сигналов ставится прочерк. В таких автоматах выходной сигнал на каком-либо переходе всегда не определен, если неопределенным является состояние перехода
Таблица выходов для автомата Мили имеет такой же вид как и таблица переходов , только на пересечении i-столбца и j-строки в ячейке таблицы указывается выходное значение, которое сформирует ЦА под воздействием входного сигнала x i (которому соответствует i-й столбец) в состоянии a j (которому соответствует j-я строка). Таблица выходов автомата Мили приведена на рисунке 6.3

	x 1	x 2	…	x m
a 1	y 1	y 3	…	y 1
a 2	y n-1	y 2	…	y n-1
…			…
a n	-	y 1	…	y 2

Рисунок 6.3 – Таблица выходов автомата Мили

Таблица выходов для автомата Мура состоит из одного столбца. Строкам таблицы соответствуют состояния автомата, т.е. в таблице столько строк, сколько состояний у автомата. Пример таблицы приведен на рисунке 6.4

	x 1
a 1	y 1
a 2	y n-1
…
a n	y 2

Рисунок 6.4 – Таблица выходов автомата Мура
В некоторых случаях вместо двух таблиц определяющих ЦА удобно применять совмещенную таблицу переходов и выходов. На рисунке 6.5 приведена совмещенная таблица для автомата Мили. На рисунке 6.6 приведена совмещенная таблица переходов для автомата Мура.

	x 1	x 2	…	x m
a 1	a 2 /y 1	a 1 /y 3	…	a 2 /y 1
a 2	a n-1 /y n-1	a 3 /y 2	…	a 1 /y n-1
…			…
a n	-	a n /y 1	…	a 2 /y 2

Рисунок 6.5 – Совмещенная таблица переходов и выходов автомата Мили

	x 1	x 2	…	x m	Y
a 1	a 2	a 1	…	a 2	y 2
a 2	a n-1	a 3	…	a 1	y 1
…			…
a n	-	a n	…	a 2	y 2

Рисунок 6.6 – Совмещенная таблица переходов автомата Мура
7.2 Графический способ задания цифровых автоматов
При графическом способе автомат задается в виде ориентированного графа, вершины которого соответствуют состояниям, а дуги - переходам между ними. Дуга, направленная из вершины a m , задает переход в автомате из состояния a m в состояние a s . В начале этой дуги записывается входной сигнал X f X, вызывающий данный переход a s =(a m ,x f). Для графа автомата Мили выходной сигнал y g Y, формируемый на переходе, записывается в конце дуги, а для автомата Мура - рядом с вершиной a m , отмеченной состоянием a m , в котором он формируется. Если переход в автомате из состояния a m в состояние a s производится под действием нескольких входных сигналов , то дуге графа, направленной из a m в a s , приписываются все эти входные и соответствующие выходные сигналы. Граф С-автомата содержит выходные сигналы двух типов и они обозначаются на графе как на графах соответствующих автоматов. Граф автомата Мура представлен на рисунке 6.7, а автомата Мили – на рисунке 6.8.

y 2

Рисунок 6.7 –Графическое представление автомата Мура

Рисунок 6.8 –Графическое представление автомата Мили

8 Абстрактный синтез цифровых автоматов
Теория цифровых автоматов рассматривает абстрактный и структурный синтез цифровых автоматов. Абстрактный синтез не описывает внутреннего строения автомата, а дает описание взаимодействия с окружающей средой. К абстрактному синтезу относят:

• 
  определение входного, выходного и алфавита состояний, функции переходов и выходов ;
• 
  задание графов автомата и таблиц переходов и выходов;
• 
  минимизацию числа состояний

8.1 Структура цифрового автомата

Внутреннюю структуру цифрового автомата можно изобразить, как показано на рисунке 8.1.

Рисунок 8.1 – Структурная схема цифрового автомата.

Комбинационная схема №1 реализует переходы автомата из одного состояния в другое под воздействием входных сигналов. Схема проектируется исходя из закодированной таблицы переходов и подграфа переходов выбранного запоминающего элемента.

Блок памяти представляет собой набор триггеров, которые хранят разряды закодированного номера состояния. Количество триггеров зависит от количества состояний, в которых может находиться автомат. И вычисляется как:

N=log 2 M
где M – количество состояний, а N –количество триггеров
Комбинационная схема №2 реализует функцию выходов автомата и на ее выходе устанавливаются выходные значения автомата в соответствии с текущим состоянием автомата и входными значениями.

8.2 Минимизация числа состояний цифрового автомата
Часто при выполнении абстрактного синтеза вводятся избыточные состояния, эквивалентность которых не является очевидной. Избыточное количество состояний может привести к применению лишних триггеров, что усложнит КС1 и КС2. Поэтому очень важно выполнять минимизацию числа состояний перед его структурным синтезом.

Алгоритм минимизации основан на разбиении всего множества состояний на попарно непересекающиеся классы эквивалентных состояний и замене всего класса эквивалентности одним состоянием. Полученный в результате минимизированный автомат будет содержать столько состояний на сколько классов эквивалентности было разбито исходное множество состояний.

Определение Два состояния a s и a m являются эквивалентными, если
 (a s , E) =  (a m , E), где  - функция перехода, E – входное слово произвольной длины.

Другими словами, состояния эквивалентны, если в ответ на одни и те же входные слова вырабатывается одна и та же последовательность состояний, независимо от того в каком из двух состояний a s или a m находился автомат в начальный момент времени. Если два состояния эквивалентны , то одно состояние можно заменить на другое.

Кроме эквивалентных состояний существует понятие k-эквивалентных состояний: 1-эквивалентные, 2-эквивалентные и т.д.

Определение Два состояния a s и a m являются k - эквивалентными, если
 (a s , E k ) =  (a m , E k ), где  - функция перехода, E k – входное слово длины k .
Алгоритм минимизации:

1. 
   Находится последовательно разбиения П 1 , П 2 , … П К, П К+1 состояний автомата до тех пор пока на каком-то К+1 шаге П К.+1 станет равно П К. В этом случае полученное к-эквивалентное разбиение будет представлять собой полностью эквивалентные классы.
2. 
   В каждом классе эквивалентности выбирают по одному состоянию, которые образуют новое множество состояний минимизированного автомата.
3. 
   Для переопределения функций переходов и выходов вычеркивают строки, которые соответствую состояниям , не вошедшим в новое множество состояний минимизируемого автомата, а в остальных строка таблицы переходов все состояния заменяются на им эквивалентные состояния, которые вошли в новое множество.
4. 
   Если множество состоит из одного состояние, то у него нет эквивалентных состояний. Если все состояния входят в отдельные множества из одного состояния, то автомат нельзя минимизировать.
5. 
   Разбиение на множества начинается с 0-эквивалентного класса. В данном случае в одни множества попадают состояния с одинаковыми выходными сигналами.

Цифровом (дискретный) автомат можно трактовать как устройство, осуществляющее прием, храпение и преобразование дискретной информации по некоторому алгоритму. С определенной точки зрения к автоматам можно отнести как реальные устройства (вычислительные машины, живые организмы и т. п.), так и абстрактные системы (математические машины, аксиоматические теории

Общую теорию автоматов подразделяют на абстрактную и структурную. Различие между ними заключается в том, что абстрактная теория, отвлекаясь от структуры автомата (т. е. не интересуясь способом его построения), изучает лишь поведение автомата относительно внешней среды. Абстрактная теория автоматов близка, таким образом, теории алгоритмов, являясь по существу ее дальнейшей детализацией. В противоположность абстрактной теории, структурная интересуется как структурой самого автомата, так и структурой входных воздействий и реакций автомата на них. В структурной теории изучаются способы построения автоматов, способы кодирования входных воздействий и реакций автомата. Таким образом, структурная теория автоматов является продолжением и дальнейшим развитием абстрактной теории. Опираясь на аппарат булевых функций и на абстрактную теорию автоматов, структурная теория дает эффективные рекомендации по разработке реальных устройств вычислительной техники.

Абстрактный цифровой автомат А определяется совокупностью пяти объектов где - множество входных сигналов автомата А (входной алфавит автомата А); - множество состояний автомата А (алфавит состояний автомата - множество выходных сигналов автомата А (выходной алфавит автомата А); - функция переходов

автомата А, задающая отображение т. е. ставящая в соответствие любой паре элементов декартового произведения множеств элемент множества - функция выходов автомата А, задающая либо отображение либо отображение

Иныш словами, функция переходов показывает, что автомат А, находясь в некотором состоянии при появлении входного сигнала , переходит в некоторое состояние Последнее может быть записано также и выражением Функция выходов задающая отображение показывает, что автомат Л, находясь в некотором состоянии при появлении входного сигнала , выдает выходной сигнал Последнее может быть записано выражением

По способу формирования функции выходов выделяют три типа абстрактных автоматов: автомат Мили, автомат Мура, С-автомат. В абстрактном автомате Мили функция выходов X задает отображение . В абстрактном автомате Мура функция выходов задает отображение абстрактном С-автомате вводятся две функции выходов X, и задающие отображение соответственно. При этом алфавит выходов С-автомата либо

Произвольный абстрактный автомат Милан или Мура имеет один входной и один выходной каналы (рис. 10.1). Произвольный абстрактный С-автомат имеет один входной и два выходных канала (рис. 10.2).

Выделяют полностью определенные и частичные автоматы.

Полностью определенным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов и функция выходов определены для всех пар

Частичным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены не для всех пар

Абстрактный цифровой автомат называется инициальным, если на множестве его состояний 5 выделяется специальное начальное со стояние т. е. инициальный абстрактный автомат определяется совокупностью шести объектов Выделение на множестве начального состояния объясняется чисто практическими соображениями, связанными с возникающей часто необходимостью фиксировать условия начала работы автомата.

Говорят, что абстрактный автомат функционирует в дискретном автоматном времени , и переходы из состояния в состояние осуществляются мгновенно. В каждой момент дискретного времени автомат находится в некотором состоянии из множества состояний Если автомат инициальный, то в начальный момент времени он всегда находится в начальном состоянии . В момент находясь в состоянии автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита соответствии с функцией выходов X он выдаст в тот же момент времени букву выходного алфавита и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее

состояние Согласно определению абстрактного автомата, автомат Мили в этом случае характеризуется системой уравнений:

автомат Мура - системой уравнений;

а С-автомат - системой уравнений:

Иными словами, если на вход инициального абстрактного автомата Мили или Мура, установленного в начальное состояние подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита выходное слово. Для случая С-автомата на его выходах будут появляться две ледовательности: абстрактном С-автомате выходной сигнал выдается все премии пока лнтомит находится в состоянии Выходной сигнал им лаетея во время действия входного сигнала при нахождении С-автомата и состоянии

Таким образом, на уровне абстрактной теории функционирование цифрового автомата понимается как преобразование входных слов в выходные слова.

Понятие состояния в определении абстрактного автомата введено в связи с тем, что большинство реальных процессов, которыми управляют реально построенные цифровые автоматы, требуют для своего правильного течения знания предыстории развития процесса во времени. Иными словами, выходной сигнал, выдаваемый автоматом в данный момент времени, определяется не только входным воздействием на автомат, но и состоянием, в котором автомат в этот момент времени находился Например, если нужно построить автомат управления переключением светофора при условии, что на вход автомата поступает только сигнал «переключить светофор», то в каждый момент времени для организации правильной работы автомата, кроме входного сигнала «переключить светофор», необходимо иметь информацию о положении светофора в предшествующий момент времени. Эта информация и обеспечивается наличием различных состояний абстрактного автомата. Абстрактные цифровые автоматы, соответствующие введенному определению абстрактного автомата, называют также абстрактными автоматами с памятью, так как существование в автомате множества различных его состояний возможно только при наличии у автомата памяти.

Ряд процессов, которыми управляют реальные автоматы, не требуют для своего правильного течения знания предустории развития процесса во времени. В автоматах, управляющих такими процессами,

Таблица 10.1

выходной сигнал определяется только входным воздействием на автомат. У казанные автоматы на абстрактном уровне представления определяются с помощью тройки , где функция выходов задает отображение и называются абстрактными автоматами с тривиальной памятью либо комбинационными автоматами. Простейшим аналогом комбинационного автомата можно ечитать обыкновенный электрический фонарь при условии, что входным воздействием является нажатие кнопки «Вкл», а выходным сигналом - зажигание лампочки фонаря.

Алфавиты входов, состояний и выходов автоматов задаются, как обычные множества, например, перечислением своих элементов. Функции переходов и выходов могут быть заданы матрично, графически и аналитически. Поэтому любой абстрактный автомат может быть задан тремя способами! матрично, графически и аналитически

При матричном способе автомат представляется либо двумя таблицами: таблицей переходов и таблицей выходов, либо матрицей соединений Таблица переходов задает отображение т. е. определяет функцию переходов автомата Таблица выходов, в зависимости от типа рассматриваемого автомата, задает либо отображение либо , т. е. определяет функцию выходов автомата.

Таблица переходов произвольного полностью определенного абстрактного автомата строится следующим образом. Столбцы таблицы помечаются буквами входного алфавита автомата, а строки таблицы - буквами алфавита состояний автомата. В клетке таблицы переходов, находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки, отмеченной состоянием ставится состояние являющееся результатом перехода автомата из состоянии под воздействием входного сигнала что определяется выражением Пример, таблицы переходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата с входным алфавитом и алфавитом состояний представлен в табл. 10.1. Если абстрактный автомат частичный, то в клетке таблицы его переходов, находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки, отмеченной состоянием (при условии, что переход из состояния под воздействием входного сигнала неопределен), ставится прочерк, и любое входное слово, приводящее к указанному переходу, является запрещенным. Заполнение остальных клеток аналогично случаю полностью определенного автомата. Пример таблицы переходов некоторого абстрактного частичного автомата с входным алфавитом и алфавитом состояний представлен в табл. 10.2. Вид таблицы переходов не зависит от типа задаваемого автомата (автомат Мура, Мили, С-автомат). Таблицы выходов автомата Мура, Мили, С-автомата имеют различия. Таблица выходов полностью определенного автомата Мили строятся следующим образом. Идентификация столбцов и строк, а также формат таблицы соответствует таблице переходов полностью определенного автомата. В клетке таблицы выходов,

Таблица 10.2

Таблица 10.3

Таблица 10.4

находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки, отмеченной состоянием ставится выходной сигнал который автомат Мили выдает, находясь в состоянии при наличии входного сигнала что определяется выражением Пример таблицы выходов некоторого абстрактного полностью определенного автомата Мили с входным алфавитом алфавитом состояний и выходным алфавитом представлен в табл. 10.3.

Таблица выходов полностью определенного автомата Мура строится более просто: каждому состоянию автомата приписывается свой выходной сигнал. Пример таблицы выходов автомата Мура с алфавитом состояний и выходным алфавитом представлен в табл 10.4.

Очевидно, абстрактный полностью определенный С-автомат задается двумя таблицами выходов, первая из которых ечть таблица выходов автомата Мили, а вторая - таблица выходов автомата Мура.

Если автомат Мили частичный, то в некоторых клетках его таблицы выходов может стоять прочерк, означающий отсутствие выходного сигнала. При этом прочерк обязательно ставится в тех клетках таблицы выходов, которые соответствуют таким же клеткам с прочерком в таблице переходов автомата Мили. Последнее связано с тем, что если в частичном автомате Мили имеется пара ) и такая, что переход из состояния под воздействием входного сигнала неопределеи, то, естественно, неопределено и значение выходного сигнала на таком (несуществующем) переходе. Пример таблицы выходов частичного автомата Мили, заданного таблицей переходов (табл. 10.2) с выходным алфавитом представлен в табл. 10.5

Прочерки в некоторых клетках таблицы выходов частичного автомата Мура не связаны с прочерками в клетках его таблицы переходов. Это определяется тем, что выходной сигнал автомата Мура зависит только от состояния, в котором находится автомат. Например, таблица выходов частичного автомата Мура, заданного таблицей переходов (табл. 10.2),

Таблица 10.5

Таблица 10.6.

Таблица 10.7

может быть представлена и как табл. 10.4, если в каждом своем состоянии автомат выдает какой-то выходной сигнал, и как табл. 10.6, если значение выходного сигнала автомата для некоторых состояний неоиределено.

На практике таблицы переходов и выходов автомата часто совмещаются в одну таблицу, называемую отмеченной таблицей переходов автомата. Отмеченная таблица переходов полностью определенного автомата Мили, представленного таблицей переходов (табл. 10.1) и таблицей выходов (табл. 10.3), сведена в табл. 10.7. Отмеченная таблица переходов частичного автомата Мура (табл. 10.2) и таблица выходов (табл. 10.4), сведена в табл. 10.8.

Кроме рассмотренных выше таблиц переходов и выходов, произвольный абстрактный автомат может быть описан матрицей соединений. Такое описание - один из способов матричного задания абстрактных автоматов. Матрица соединений произвольного абстрактного автомата является квадратной и содержит столько столбцов (строк), сколько различных состояний имеет рассматриваемый автомат. Каждый столбец (строка) матрицы соединений помечается буквой состояния автомата. Если автомат инициальный, то первый слева столбец и первая сверху строка матрицы его соединений помечаются буквой начального состояния автомата В клетке матрицы соединений, находящейся на пересечении столбца, помеченного буквой состояния и строки, помеченной буквой состояния автомата, ставится входной сигнал (или дизъюнкция входных сигналов), под воздействием которого осуществляется переход автомата из состояния в состояние Если матрицей соединения задается абстрактный автомат Милн, то рядом с буквой входного сигнала в скобках указывается буква выходного сигнала который автомат Мили выдает, осуществляя переход Матрица соединений некоторого автомата Мили, представленного отмеченной таблицей переходов (табл. 10.7), показана на рис. 10.3.

Если матрицей соединения задается абстрактный автомат Мура, то выходными сигналами помечаются состояния автомата, идентифицирующие строки матрицы соединений.

Таблица 10.8

При графическом способе задания абстрактные автоматы представляются ориентированными графами; состояния автомата изображаются вершинами графа, а переходы между состояниями - дугами между соответствующими вершинами. При этом каждой дуге графа приписывается некоторая буква входного алфавита автомата, указывающая, что данный переход автомата осуществляется только при появлении входного сигнала и каждой вершине графа - буква соответствующего состояния автомата. Если графом изображается автомат Мила, то выходные сигналы автомата проставляются на дугах графа (в соответствии с таблицей выходов автомата) рядом с буквой входного сигнала. Пример графа автомата Мили, заданного таблицей переходов (табл. 10.1) и таблицей выходов (табл. 10.3), показан на рис. 10.4. Если графом изображается автомат Мура, то выходные сигналы автомата проставляются около вершин графа (в соответствии с таблицей выходов автомата). Пример графа автомата Мура, заданного таблицей переходов (табл. 10.2) и таблицей выходов (табл. 10.4), показан на рис. 10.5.

При аналитическом способе задания абстрактные автоматы представляются четверкой объектов где задает для каждого состояния автомата отображение . Другими словами, при аналитическом способе задания для каждого состояния автомата указывается отображение представляющее собой множество всех троек и таких, что под воздействием входного сигнала автомат осуществляет переход из состояния в состояние выдавая при этом выходной сигнал Применительно к общему определению абстрактного автомата, последнее равнозначно описанию функций и X в соответствии с выражениями: Отображение записывается следующим образом:

Аналитическое задание автомата Мили, представленного отмеченной таблицей переходов (табл. 10.7), имеет следующий вид.

Рассмотрим эквивалентное преобразование автоматов. Эквивалентными называются автоматы, индуцирующие одно и то же отображение множества слов во входном алфавите в множество слов в выходном алфавите. Рассмотрим только преобразование автомата Мура в эквивалентный ему автомат Мили. Преобразование автомата Мили в эквивалентный ему автомат Мура осуществляется несколько сложнее.

Переход от автомата Мура к эквивалентному ему автомату Мили удобно осуществлять при графическом способе задания автоматов. В этом случае он сводится к переносу выходного сигнала выдаваемого автоматом Мура в состоянии на дуги, входящие в вершину, помеченную буквой При матричном способе задания таблица переходов автомата Мили совпадает с таблицей переходов автомата Мура, а таблица выходов автомата Мили получается из его таблицы переходов заменой буквы состояния находящейся на пересечении столбца, отмеченного входным сигналом и строки на выходной сигнал выдаваемый автоматом Мура в состоянии

Разработка реальных автоматов (представленных хотя бы на уровне принципиальных электрических схем) требует их задания сначала на абстрактном уровне с последующим переходом на структурный уровень, учитывающий используемые в схеме автомата логические элементы и связи между ними. В связи с этим возникает задача синтеза абстрактного автомата, исходя из какого-то начального, например, словесного описания его работы. Существующие алгоритмы синтеза абстрактных автоматов на практике обычно не используются из-за сложности и громоздкости вычислеиий и поэтому не включены в материал учебника. Однако для лучшего уяснения понятия абстрактного автомата и способов его задания здесь рассмотрим пример синтеза абстрактного автомата, основываясь на чисто умозрительных соображениях.

Пример. Построить абстрактный цифровой автомат управления переключением спетофора при условии, что на вход автомата поступает только сигнал «переключить светофор». Обозначим этот сигнал буквой а его отсутствие - буквой

Очевидно, входной алфавит X такого автомата будет состоять из двух букв: Так как синтезируемый автомат должен обеспечивать переключение светофора в красный, желтый и зеленый цвет, то введем три соответствующих выходных сигнала управления Положим также, что в момент начала функционирования автомат находится в состоянии Алгоритм работы тривиален; возможное решение для автомата Мили показано на рис. 10.6, а для автомата Мура - на рис. 10.7. Для (упрощения полагаем, что в начальный момент времени автомат Мура выдает выходной сигнал «включить зеленый цвет». Отметим, что для построения графа автомата потребуется ввести четыре различных состояния. Число состояний можно уменьшить, например увеличив число входных сигналов автомата либо расширив возможности автомата в плане запоминания предыстории развития процесса управления во времени (в рассматриваемом примере запоминается только момент выдачи последнего выходного сигнала).

В заключение отметим, что мы рассматриваем только детерминированные автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Автомат, заданный таблицей переходов, всегда детерминированный, так как на пересечении столбца и строки таблицы переходов записывается только одно состояние если переход определен, и ставится прочерк, если переход не определен. Применительно к графическому способу задания автомата условие однозначности означает, что в графе автомата из любой вершины не может выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным сигналом.

На выходе оно выдаёт символы (в общем случае) другого алфавита.

Абстрактный автомат

Формально абстрактный автомат определяется как пятерка

Ограничение числа параметров абстрактного автомата определило такое понятие как конечный автомат .

Функционирование автомата состоит в порождении двух последовательностей: последовательности очередных состояний автомата и последовательности выходных символов , которые для последовательности символов разворачиваются в моменты дискретного времени t = 1, 2, 3, … Моменты дискретного времени получили название тактов.

Функционирование автомата в дискретные моменты времени t может быть описано системой рекуррентных соотношений:

Для уточнения свойств абстрактных автоматов введена классификация .

Абстрактные автоматы образуют фундаментальный класс дискретных моделей как самостоятельная модель, и как основная компонента машин Тьюринга , автоматов с магазинной памятью , конечных автоматов и других преобразователей информации.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Диаграмма состояний (теория автоматов)
• Нагорный Карабах

Смотреть что такое "Абстрактный автомат" в других словарях:

абстрактный автомат - abstraktusis automatas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. abstract automaton vok. abstrakter Automat, m rus. абстрактный автомат, m pranc. automate abstrait, m … Automatikos terminų žodynas

Автомат - В Викисловаре есть статья «автомат» Автомат: Автомат устройство, самостоятельно выполняющее некоторые действия … Википедия

Конечный автомат - Конечный автомат абстрактный автомат без выходного потока, число возможных состояний которого конечно. Результат работы автомата определяется по его конечному состоянию. Существуют различные варианты задания конечного автомата. Например,… … Википедия

ТЬЮРИНГА, МАШИНА - Абстрактный автомат (то есть компьютер или другой точный, определенный механизм), теоретически охарактеризованный британским математиком Аланом М. Тьюрингом в 1930 х гг. В основном, машина Тьюринга состоит из ленты и считывающей головки. Лента… … Толковый словарь по психологии

Теория автоматов

Теория автоматов - раздел теоретической кибернетики, который изучает математические модели (называемые здесь автоматами или машинами) реальных или возможных устройств, перерабатывающих дискретную ин­формацию дискретными же тактами. Основными… … Экономико-математический словарь

теория автоматов - Раздел теоретической кибернетики, который изучает математические модели (называемые здесь автоматами или машинами) реальных или возможных устройств, перерабатывающих дискретную информацию дискретными же тактами. Основными понятиями этой теории… … Справочник технического переводчика

Теория автоматов - Теория автоматов раздел дискретной математики, изучающий абстрактные автоматы вычислительные машины, представленные в виде математических моделей и задачи, которые они могут решать. Теория автоматов наиболее тесно связана с… … Википедия

Компьютер - Схема персонального компьютера: 1. Монитор 2. Материнская плата 3 … Википедия

Формальные методы - Пример формальной спецификации с использованием Z нотации В информатике и инженерии программного обеспечения формальными методами называется группа техник, основанных на математическом аппарате для … Википедия

1.1 Основные понятия

1.4 Связь между моделями Мили и Мура

1.5 Эквивалентные автоматы. Эквивалентные преобразования автоматов

1.6 Минимизация числа внутренних состояний автомата

Список литературы

Введение

Тема контрольной работы по дисциплине "Прикладная теория цифровых автоматов" - "Абстрактные цифровые автоматы".

Цель работы - ознакомится с основными понятиями абстрактных цифровых автоматов; типами абстрактных автоматов; способами задания абстрактных автоматов; связью между моделями Мили и Мура; эквивалентными автоматами и эквивалентными преобразованиями автоматов; минимизацией числа внутренних состояний автомата и алгоритмом Ауфенкампа-Хона.

1. Абстрактные цифровые автоматы

1.1 Основные понятия

Цифровой автомат можно трактовать как устройство, осуществляющее прием, хранение и преобразование дискретной информации по некоторому алгоритму. С определенной точки зрения к автоматам можно отнести как реальные устройства (ЭВМ), так и абстрактные системы (математические модели).

Автоматом называется дискретный преобразователь информации, способный принимать различные состояния, переходить под воздействием входных сигналов из одного состояния в другое и выдавать выходные сигналы.

Общая теория автоматов подразделяется на абстрактную и структурную.

Абстрактная теория автоматов, отвлекаясь от структуры автомата (т.е. не интересуясь способом его построения), изучает лишь поведение автомата относительно внешней среды. Абстрактная теория автоматов близка к теории алгоритмов, являясь по существу ее дальнейшей реализацией.

В противоположность абстрактной теории автоматов, структурная теория автоматов интересуется как структурой самого автомата, так и структурой входных воздействий и реакций автомата на них. В структурной теории изучаются способы построения автоматов, способы кодирования входных воздействий и реакций автомата на них. Структурная теория автоматов является продолжением и развитием абстрактной теории. Опираясь на аппарат булевых функций и на абстрактную теорию автоматов, структурная теория дает эффективные рекомендации по разработке реальных устройств вычислительной техники.

Абстрактный цифровой автомат (ЦА) является математической моделью дискретного управляющего устройства.

Абстрактный ЦА определяется множеством, состоящим из шести элементов:

,a o },

X={x 1 , x 2 ,. x n } - множество входных сигналов (входной алфавит);

Y={y 1 , y 2 , y m } - множество выходных сигналов (выходной алфавит);

А={ a 0 ,a 1 , a 2 ,. а N } - множество состояний (алфавит состояний);

а о - начальное состояние (а о

А); - функция переходов автомата, задающая отображение (ХхА) А, т.е. ставящая в соответствие любой паре элементов декартового произведения (ХхА) элемент множества А;

- функция выходов автомата, задающая либо отображение (XxA)

Y, либо отображение AY.

Иными словами, функция переходов

показывает, что автомат S, находясь в некотором состоянии а j А, при появлении входного сигнала х j Х переходит в некоторое состояние а р А. Это можно записать: (a i ,X j).

Функция выходов показывает, что автомат S, находясь в некотором состоянии а j

А, при появлении входного сигнала х j Х выдает выходной сигнал у k Y. Это можно записать: у k = (a i , X j).

Понятие состояние в определение автомата было введено в связи с тем, что часто возникает необходимость в описании поведения систем, выходы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени, но и от некоторой предыстории, т.е. от сигналов, которые поступали на входы системы ранее. Состояние как раз и соответствует некоторой памяти о прошлом, позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходные сигналы как функцию состояний и входов в данный момент времени.

Абстрактный автомат функционирует в дискретном автоматном времени t=0,1,2,. и переходы из состояния в состояние осуществляются мгновенно. В каждый момент tдискретного времени автомат находится в определенном состоянии a (t) из множества А состояний автомата, причем в начальный момент времени t=0 он всегда находится в начальном состоянии а о. В момент времени t, будучи в состоянии a (t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал х (t)

X, и выдать на выходном канале сигнал y (t) = (a (t), x (t)), переходя в состояние a (t+1) = = (a (t),x (t)). Зависимость выходного сигнала от входного и от состояния означает, что в его составе имеется память.

1.2 Типы абстрактных автоматов

По способу формирования функции выходов выделяют три типа абстрактных автоматов: автомат Мили, автомат Мура, С-автомат. Автомат Мили характеризуется системой уравнений:

(a (t), x (t));

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-1)

Автомат Мура - системой уравнений:

(a (t));

a (t+1) = δ (a (t), x (t)). (1-2)

С-автомат - системой уравнений:

y 2 (a (t),x (t)); 2 (a (t));

a (t+1) =δ (a (t),x (t)).

Произвольный абстрактный автомат Мили или Мура (рис.1.1.) имеет один входной и один выходной каналы. Произвольный абстрактный С-автомат имеет один входной и два выходны х канала (рис.1.2.).

Рисунок 1.1 - Абстрактный автомат

Рисунок.1.2 Абстрактный С-автомат

Если на вход абстрактного автомата Мили или Мура, установленного в начальное состояние а о, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита х (0), х (1),. - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита у (0), у (1),. - выходное слово. Для случая С-автомата на его выходах будут появляться две последовательности: y 1 (0), y 1 (1),. и y 2 (0), y 2 (1),. В абстрактном С - автомате выходной сигнал y 2 (t) =

(a (t)) выдается все время, пока автомат находится в состоянии a (t). Выходной сигнал y 1 (t) =λ 1 (a (t),x (t)) выдается во время действия входного сигнала x (t) при нахождении С-автомата в состоянии a (t).

Таким образом, на уровне абстрактной теории функционирование цифрового автомата понимается как преобразование входных слов в выходные слова.

Выделяют полностью определенные и частичные автоматы.

Полностью определенным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены для всех пар переходов (x i ,a j).

Частичным называется абстрактный цифровой автомат, у которого функция переходов или функция выходов, или обе эти функции определены не для всех пар переходов (x i ,a j).

Абстрактный цифровой автомат называется инициальным, если на множестве его состояний А выделяется начальное состояние а о.

1.3 Способы задания абстрактных автоматов

Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все элементы множества: S={ X,A,Y,

,,a o }. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используется табличный (матричный), графический, аналитический.

При табличном способе автомат задается двумя таблицами: таблицей переходов и таблицей выходов, или матрицей соединений. Таблица переходов произвольного полностью определенного автомата строится следующим образом: строки таблицы помечаютсябуквами входного алфавита автомата, а столбцы таблицы - буквами алфавита состояний автомата; В клетке таблицы переходов, находящейся напересечении строки, отмеченной входным сигналом x i , и столбца отмеченного состоянием a j , ставится состояние а k , являющееся результатом перехода автомата из состояния a j под воздействием входного сигнала х i , что определяется выражением a k =

(a j , х j).