Теория игр. Типы критериальных функций в играх с природой

⁰

Рассмотрим конечную бескоалиционную игру с двумя участниками. Игрок А имеет m стратегий, игрок В – n стратегий. Выбор игроком А стратегии с номером I , а игроком В стратегии с номером j – определяет исход игры. Ни один из игроков не знает выбора противника. Игрок А получает в качестве выигрыша сумму а ij , а игрок В – сумму b ij . Такая игра называется игрой двух лиц в нормальной форме .

Игра двух лиц с матрицами выигрыша а ij и b ij называется антагонистической (или игрой с нулевой суммой), если а ij + b ij = 0 при любой стратегии I игрока А и любой стратегии j игрока В. Антагонистическая игра описывается одной матрицей (платежной или выигрышей).

Теория антагонистических игр разработана наиболее детально. Ее математический аппарат связан с таким разделом математики, как линейное программирование.

В теоретико-множественной форме антагонистическая матричная игра записывается в виде

Н = { A, B, H(m,n)}, (1)

где A = {a 1 ,a 2 ,…a m } - множество стратегий игрока А;

В = {b 1 ,b 2 ,…b n } - множество стратегий игрока B;

H(m,n) – платежная матрица или матрица выигрышей, размерностью m х n.

Любой элемент матрицы Н – (a ij) – численно показывает величину выигрыша игрока А, если он примет стратегию i, и соответственно, величину проигрыша игрока В, если он примет стратегию j.

Решить игру (1) означает вычислить пару стратегий (a i ,b j) , которая наилучшим образом удовлетворяла бы интересы обоих игроков.

Наиболее простым случаем матричной антагонистической игры является. вполне определенная игра(ига с седловой точкой).

Вполне определенной игрой или игрой с седловой точкой называется игра, у которой совпадают нижняя и верхняя цены игры, то есть выполняется равенство:

a = max min а ij = min max a ij = b .

i j j i

При этом величина V = a = b называется ценой игры , элемент а ij соответствующий равенству, называют седловой точкой.

Простота решения игры с седловой точкой заключается в том, что оптимальные стратегии (в этом случае их называют чистыми стратегиями ) обоих игроков получаются сразу. Для примера 1 α = β = 6 , т.е цена игры V = 6 у.е., а элемент матрицы Н, находящийся на пересечении строки 2 (стратегия А 2) и столбца 2 (стратегия В 2) – седловая точка игры.

Седловая точка всегда является минимальным элементом соответствующей строки и максимальным элементом соответствующего столбца. Эта точка есть точка равновесия игры, однозначно определяющая чистые оптимальные стратегии.

Такое решение обладает свойством устойчивости в том смысле, что если один из игроков применяет свою оптимальную стратегию, то любое отклонение другого игрока от оптимальной стратегии может оказаться не выгодным для него.

Седловых точек к матрице может быть несколько. Между тем значение цены игры всегда единственное.

Стратегии игроков, подразумевающие разумность действий противников в достижении поставленных целей, получили в теории игр название принципа гарантированного результата, или принципа максимина.

Решением игры в примере 1 является выбор стратегии А 2 игроком А и В 2 игроком В, при этом цена игры V = 6.

Называется игра двух лиц с нулевой суммой, в которой в распоряжении каждого из них имеется конечное множество стратегий. Правила матричной игры определяет платёжная матрица, элементы которой - выигрыши первого игрока, которые являются также проигрышами второго игрока.

Матричная игра является антагонистической игрой. Первый игрок получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения второго игрока) выигрыш, равный цене игры, аналогично, второй игрок добивается минимального гарантированного проигрыша.

Под стратегией понимается совокупность правил (принципов), определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации.

Теперь обо всём по порядку и подробно.

Платёжная матрица, чистые стратегии, цена игры

В матричной игре её правила определяет платёжная матрица .

Рассмотрим игру, в которой имеются два участника: первый игрок и второй игрок. Пусть в распоряжении первого игрока имеется m чистых стратегий, а в распоряжении второго игрока - n чистых стратегий. Поскольку рассматривается игра, естественно, что в этой игре есть выигрыши и есть проигрыши.

В платёжной матрице элементами являются числа, выражающие выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут выражаться в пунктах, количестве денег или в других единицах.

Составим платёжную матрицу:

Если первый игрок выбирает i -ю чистую стратегию, а второй игрок - j -ю чистую стратегию, то выигрыш первого игрока составит a ij единиц, а проигрыш второго игрока - также a ij единиц.

Так как a ij + (- a ij ) = 0 , то описанная игра является матричной игрой с нулевой суммой.

Простейшим примером матричной игры может служить бросание монеты. Правила игры следующие. Первый и второй игроки бросают монету и в результате выпадает "орёл" или "решка". Если одновременно выпали "орёл" и "орёл" или "решка" или "решка", то первый игрок выиграет одну единицу, а в других случаях он же проиграет одну единицу (второй игрок выиграет одну единицу). Такие же две стратегии и в распоряжении второго игрока. Соответствующая платёжная матрица будет следующей:

Задача теории игр - определить выбор стратегии первого игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний выигрыш, а также выбор стратегии второго игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний проигрыш.

Как происходит выбор стратегии в матричной игре?

Вновь посмотрим на платёжную матрицу:

Сначала определим величину выигрыша первого игрока, если он использует i -ю чистую стратегию. Если первый игрок использует i -ю чистую стратегию, то логично предположить, что второй игрок будет использовать такую чистую стратегию, благодаря которой выигрыш первого игрока был бы минимальным. В свою очередь первый игрок будет использовать такую чистую стратегию, которая бы обеспечила ему максимальный выигрыш. Исходя из этих условий выигрыш первого игрока, который обозначим как v 1 , называется максиминным выигрышем или нижней ценой игры .

При для этих величин у первого игрока следует поступать следующим образом. Из каждой строки выписать значение минимального элемента и уже из них выбрать максимальный. Таким образом, выигрыш первого игрока будет максимальным из минимальных. Отсюда и название - максиминный выигрыш. Номер строки этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает первый игрок.

Теперь определим величину проигрыша второго игрока, если он использует j -ю стратегию. В этом случае первый игрок использует такую свою чистую стратегию, при которой проигрыш второго игрока был бы максимальным. Второй игрок должен выбрать такую чистую стратегию, при которой его проигрыш был бы минимальным. Проигрыш второго игрока, который обозначим как v 2 , называется минимаксным проигрышем или верхней ценой игры .

При решении задач на цену игры и определение стратегии для определения этих величин у второго игрока следует поступать следующим образом. Из каждого столбца выписать значение максимального элемента и уже из них выбрать минимальный. Таким образом, проигрыш второго игрока будет минимальным из максимальных. Отсюда и название - минимаксный выигрыш. Номер столбца этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает второй игрок. Если второй игрок использует "минимакс", то независимо от выбора стратегии первым игроком, он проиграет не более v 2 единиц.

Пример 1.

Наибольший из наименьших элементов строк - 2, это нижняя цена игры, ей соответствует первая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока первая. Наименьший из наибольших элементов столбцов - 5, это верхняя цена игры, ей соответствует второй столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока - вторая.

Теперь, когда мы научились находить нижнюю и верхнюю цену игры, максиминную и минимаксную стратегии, пришло время научиться обозначать эти понятия формально.

Итак, гарантированный выигрыш первого игрока:

Первый игрок должен выбрать чистую стратегию, которая обеспечивала бы ему максимальный из минимальных выигрышей. Этот выигрыш (максимин) обозначается так:

Первый игрок использует такую свою чистую стратегию, чтобы проигрыш второго игрока был максимальным. Этот проигрыш обозначается так:

Второй игрок должен выбрать свою чистую стратегию так, чтобы его проигрыш был минимальным. Этот проигрыш (минимакс) обозначается так:

Ещё пример из этой же серии.

Пример 2. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

Решение. Справа от платёжной матрицы выпишем наименьшие элементы в её строках и отметим максимальный из них, а снизу от матрицы - наибольшие элементы в столбцах и выберем минимальный из них:

Наибольший из наименьших элементов строк - 3, это нижняя цена игры, ей соответствует вторая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока вторая. Наименьший из наибольших элементов столбцов - 5, это верхняя цена игры, ей соответствует первый столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока - первая.

Седловая точка в матричных играх

Если верхняя и нижняя цена игры одинаковая, то считается, что матричная игра имеет седловую точку. Верно и обратное утверждение: если матричная игра имеет седловую точку, то верхняя и нижняя цены матричной игры одинаковы. Соответствующий элемент одновременно является наименьшим в строке и наибольшим в столбце и равен цене игры.

Таким образом, если , то - оптимальная чистая стратегия первого игрока, а - оптимальная чистая стратегия второго игрока. То есть равные между собой нижняя и верхняя цены игры достигаются на одной и той же паре стратегий.

В этом случае матричная игра имеет решение в чистых стратегиях .

Пример 3. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Нижняя цена игры совпадает с верхней ценой игры. Таким образом, цена игры равна 5. То есть . Цена игры равна значению седловой точки . Максиминная стратегия первого игрока - вторая чистая стратегия, а минимаксная стратегия второго игрока - третья чистая стратегия. Данная матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

Решить задачу на матричную игру самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

Матричные игры с оптимальной смешанной стратегией

В большинстве случаев матричная игра не имеет седловой точки, поэтому соответствующая матричная игра не имеет решений в чистых стратегиях.

Но она имеет решение в оптимальных смешанных стратегиях. Для их нахождения нужно принять, что игра повторяется достаточное число раз, чтобы на основании опыта можно было предположить, какая стратегия является более предпочтительной. Поэтому решение связывается с понятием вероятности и среднего (математического ожидания). В окончательном же решении есть и аналог седловой точки (то есть равенства нижней и верхней цены игры), и аналог соответствующих им стратегий.

Итак, чтобы чтобы первый игрок получил максимальный средний выигрыш и чтобы средний проигрыш второго игрока был минимальным, чистые стратегии следует использовать с определённой вероятностью.

Если первый игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией первого игрока. Иначе говоря, это "смесь" чистых стратегий. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

Если второй игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией второго игрока. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

Если первый игрок использует смешанную стратегию p , а второй игрок - смешанную стратегию q , то имеет смысл математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока). Чтобы его найти, нужно перемножить вектор смешанной стратении первого игрока (который будет матрицей из одной строки), платёжную матрицу и вектор смешанной стратегии второго игрока (который будет матрицей из одного столбца):

Пример 5. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Определить математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока), если смешанная стратегия первого игрока , а смешанная стратегия второго игрока .

Решение. Согласно формуле математического ожидания выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока) оно равно произведению вектора смешанной стратегии первого игрока, платёжной матрицы и вектора смешанной стратегии второго игрока:

первого игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему максимальный средний выигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

Оптимальной смешанной стратегией второго игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему минимальный средний проигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

По аналогии с обозначениями максимина и минимакса в случах чистых стратегий оптимальные смешанные стратегии обозначаются так (и увязываются с математическим ожиданием, то есть средним, выигрыша первого игрока и проигрыша второго игрока):

В таком случае для функции E существует седловая точка , что означает равенство .

Для того, чтобы найти оптимальные смешанные стратегии и седловую точку, то есть решить матричную игру в смешанных стратегиях , нужно свести матричную игру к задаче линейного программирования, то есть к оптимизационной задаче, и решить соответствующую задачу линейного программирования.

Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Для того, чтобы решить матричную игру в смешанных стратегиях, нужно составить прямую задачу линейного программирования и двойственную ей задачу . В двойственной задаче расширенная матрица, в которой хранятся коэффициенты при переменных в системе ограничений, свободные члены и коэффициенты при переменных в функции цели, транспонируется. При этом минимуму функции цели исходной задачи ставится в соответствие максимум в двойственной задаче.

Функция цели в прямой задаче линейного программирования:

Система ограничений в прямой задаче линейного программирования:

Функция цели в двойственной задаче:

Система ограничений в двойственной задаче:

Оптимальный план прямой задачи линейного программирования обозначим

а оптимальный план двойственной задачи обозначим

Линейные формы для соответствующих оптимальных планов обозначим и ,

а находить их нужно как суммы соответствующих координат оптимальных планов.

В соответствии определениям предыдущего параграфа и координатами оптимальных планов, в силе следующие смешанные стратегии первого и второго игроков:

Математики-теоретики доказали, что цена игры следующим образом выражается через линейные формы оптимальных планов:

то есть является величиной, обратной суммам координат оптимальных планов.

Нам, практикам, остаётся лишь использовать эту формулу для решения матричных игр в смешанных стратегиях. Как и формулы для нахождения оптимальных смешанных стратегий соответственно первого и второго игроков:

в которых вторые сомножители - векторы. Оптимальные смешанные стратегии также, как мы уже определили в предыдущем параграфе, являются векторами. Поэтому, умножив число (цену игры) на вектор (с координатами оптимальных планов) получим также вектор.

Пример 6. Дана матричная игра с платёжной матрицей

Найти цену игры V и оптимальные смешанные стратегии и .

Решение. Составляем соответствующую данной матричной игре задачу линейного программирования:

Получаем решение прямой задачи:

Находим линейную форму оптимальных планов как сумму найденных координат.

Рассмотрим игру m × n с матрицей P = (a ij ), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n и определим наилучшую среди стратегий A 1 , A 2 , ..., A m . Выбирая стратегию A i игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий B j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ). Обозначим через α i , наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии A i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -й строке платежной матрицы), т.е.

Среди всех чисел α i (i = 1, 2, ..., m) выберем наибольшее: . Назовем α нижней ценой игры , или максимальным выигрышем (максимином ). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно,

13. Седловая точка.

Седловая точка - это наибольший элемент столбца матрицы игры, который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого; С. т. есть точка равновесия.

Понятие седловой точки

Если в игре с матрицей А нижнее и верхнее, чистые цены игры совпадают т.е. , то говорят, что эта игра имеет седловую точку, в чистых выражениях и чистую цену игры:

Седловая точка - это пара чистых стратегий (i 0 , j 0) первого и второго игрока, при котором достигается равенство .

В понятии седловой точки вложен следующий смысл:

если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точки, то другой игрок не может поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точки.

Отклонение первого игрока от седловой точки может приводить только к уменьшению его выигрыша.

Отклонение второго игрока от седловой точки может приводить к увеличению его проигрыша .

Седловой элемент - является минимальным элементом строки и максимальным элементом в столбце.

Для определения седлового элемента необходимо последовательно в каждой точке определить минимальный элемент, а затем проверять является ли он максимальным элементом столбца и если является, тогда таким образом найдена седловая точка - цена игры, оптимальные стратегии первого и второго игрока:

14. Оптимальные стратегии .

В матричной игре каждый из игроков выбирает свои стратегии, не имея сведений о действиях другого игрока. Выясним, на какие наилучшие гарантированные выигрыши они могут рассчитывать. Первый игрок, выбрав некоторую стратегию i, может получить в качестве выигрыша один из двух элементов аi1, аi2 матрицы А в зависимости от того, какую стратегию применит второй игрок. В худшем случае он должен рассчитывать на минимальный выигрыш, т. е. на

В то же время при удачном выборе стратегии i = i* первый игрок может получить максимальный выигрыш из минимальных:

Второй игрок рассуждает сходным образом. При выборе стратегии j его максимальный проигрыш из двух возможных а1 j, а2 j равен

Если выбор стратегии j = j* оказался удачным, то он может рассчитывать на минимальный проигрыш из максимальных:

Формулы (5.2), (5.3) определяют наилучшие гарантированные выигрыши игроков. Если они совпадают, то их общее значение можно считать приемлемым для игроков компромиссом, а соответствующие стратегии i*, j* - оптимальными стратегиями.

Непосредственные вычисления по формулам (5.2), (5.3) с использованием (5.1) дают

Здесь наилучшие гарантированные выигрыши не равны и оптимальных стратегий не существует.

Причина отсутствия оптимальных стратегий кроется, очевидно, в их определении. Попробуем изменить определение оптимальных стратегий, не упуская из вида игрового смысла задачи и целей игроков.

Рассмотрим с этих позиций игру со следующей платёжной матрицей:

Рассмотрим рассуждения, которыми руководствуется первый игрок. Если он сделает ход i=1, то наихудшей для него будет ситуация, когда второй игрок сделает ход j=3, так как в этом случае он получит 0. Если первый игрок сделает ход i=2, то в наихудшем случае (при ходе второго игрока j=1) он также получит 0. Аналогично, при i=3 он в наихудшем случае получит 4 (при j=2), при i=4 - 2 (при j=3) и, наконец, при i=5 он в наихудшем случае получит 0 (при j=3).

Стремясь сделать свой гарантированный выигрыш как можно больше, первый игрок должен выбрать ход i=3, так как в этом случае он гарантирует себе выигрыш, равный 4 (правда, и его максимальный выигрыш невелик - всего 5).

А теперь попробуем посмотреть на эту же матрицу с точки зрения второго игрока. Для него это –- матрица его проигрыша.

Если он выберет ход j=1, то его максимальный проигрыш будет равен 18 (если первый игрок сделает ход i=1). Аналогично, при j=2 его максимальный проигрыш будет равен 4, при j=3- – 8, и, наконец, при j=4 его максимальный проигрыш будет равен 25. Стремясь сделать свой максимальный проигрыш как можно меньше, второй игрок должен выбрать ход j=2, так как в этом случае его максимальный проигрыш, равный 4, самый маленький.

Итак, мы пришли к выводу, что первый игрок должен ходить i=3, а второй j=2. Допустим теперь, что второй игрок, как говорят, «открывает карты» и заявляет первому игроку: «Я буду делать ход j=2». Есть ли первому игроку необходимость менять свой ход? Нет, так как в этом случае его наилучший ход всё равно i=3.

Аналогично, если первый игрок заявит второму, что он будет ходить i=3, то второму игроку также нет смысла менять свой ход, так как наилучшим ответом будет всё равно j=2. Пара i=3, j=2 является, как говорят, уравновешенной парой, так как «открытие карт» игроками не даёт поводов противнику менять свою стратегию. Как говорят, пара i=3, j=2 есть решение игры, а величинавыигрыша при этом первого игрока (и одновременно величина проигрыша второго) - 4 – это цена игры .

Оформим всё это математически. Итак, пусть первый игрок выбирает ход i . В наихудшей для него ситуации он выиграет:

Стремясь сделать свой минимальный выигрыш максимальным, он выбирает свой ход из условия:

Такая стратегия называется максиминной , а величина α называется нижней ценой игры , или максимином .

Аналогично, второй игрок, выбирая ход j , в наихудшей для себя ситуации проигрывает:

Стремясь сделать свой максимальный проигрыш минимальным, он должен выбирать свой ход из условия:

Такая стратегия называется минимаксной , а величина β называется верхней ценой игры , или минимаксом .

Цена игры v всегда лежит между нижней ценой игры α и верхней ценой игры β .

Существуют игры, для которых нижняя цена игры равна верхней:

Эти игры занимают особое положение в теории игр и называются играми с седловой точкой. Общее обозначение нижней и верхней цены игры:

называется чистой ценой игры .

Седловая точка матрицы – элемент, который минимален в своей строке, но максимален в своём столбце. Это позволяет легко находить седловые точки матрицы.

Точка i =3, j =2, является седловой точкой. Элемент платежной матрицы a 32 =4 характеризовался именно тем свойством, что он был максимальным в своём столбце и минимальным в своей строке.

Некоторые вопросы, касающиеся седловых точек.

1. У матрицы быть несколько седловых точек, например у матрицы:

две седловых точки (i =1, j =1) и (i =1, j =3).

2. Не все матрицы имеют седловую точку, например у матрицы седловых точек нет.

Каждый игрок должен стремиться не вообще к ситуации, в которой значение функции выигрыша максимально или минимально, а прежде всего к такой ситуации, которая может сложиться в процессе игры. Чтобы ситуация могла быть осуществимой, в ней одновременно должны достигаться приемлемые результаты как для игрока I, так и для игрока II. Ситуации, обладающие этим свойством, называются ситуациями равновесия . Именно они могут складываться в результате разумного выбора игроками своих стратегий. При выявлении ситуации равновесия необходимо прежде всего проанализировать последовательно каждую стратегию игрока I с точки зрения наиболее неблагоприятного для него исхода при выборе игроком II одной из своих стратегий. Для этого в - строке матрицы отыскивается минимальное значение выигрыша. Обозначим его , где знаком ( минимум по ) обозначена операция отыскания минимального из значений функции выигрыша при всех возможных .

Числа , которые записаны рядом с матрицей в виде добавочного столбца, характеризуют минимальные выигрыши игрока I с учетом разумных действий игрока II. Поэтому игрок I должен выбрать свою стратегию так, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш, то есть он должен остановиться на той стратегии, для которой число является максимальным. Обозначим максимальное значение через , то есть

Величина называется нижним значением игры или максимином , а соответствующая ей стратегия игрока I – максиминной стратегией .

максиминной стратегии игрок I обеспечивает себе (независимо от поведения противника) гарантированный выигрыш не менее .

Далее проанализируем каждую стратегию игрока II с точки зрения наиболее неблагоприятного для него исхода при выборе игроком I одной из своих стратегий. В результате этого найдем максимальные значения проигрыша, которые обозначим

где знаком ( максимум по ) обозначено максимальное значение функции выигрыша при всех возможных .

Числа , которые записаны под матрицей в виде добавочной строки, характеризуют максимальные проигрыши игрока II с учетом разумных действий игрока I. Поэтому игрок II должен выбрать свою стратегию так, чтобы минимизировать свой максимальный проигрыш. Для этого он должен остановиться на той стратегии, при которой число будет минимальным. Обозначим минимальное значение через , то есть

Величина называется верхним значением игры или минимаксом , а соответствующая ей стратегия игрока II – минимаксной стратегией .

Очевидно, что при выборе наиболее осторожной минимаксной стратегии игрок II не дает возможности ни при каких обстоятельствах игроку I выиграть больше, чем .

Следовательно, если оба игрока ведут себя разумно, то выигрыш игрока I должен быть не меньше, чем максимин , и не больше, чем минимакс , то есть:

Необходимым и достаточным условием выполнения равенства 7.2. является существование седловой точки. матрицы. Термин " седловая точка " заимствован из геометрии. Однако наличие седловой точки в геометрии рассматривается в локальном, а в теории игр – в глобальном плане. То есть, декларируется существование пары целых чисел , для которых оказывается одновременно минимумом своей строки и максимумом своего столбца. Поэтому игрок I, применяя максиминную стратегию , гарантирует себе выигрыш , а игрок II, применяя минимаксную стратегию , не дает ему выиграть больше, чем .

Следовательно, для игрока I лучше всего выбирать стратегию , а для игрока II - . Согласно этому стратегии и называются оптимальными, а гарантированный выигрыш игрока I – значением игры , которое обозначают через .

Совокупность оптимальных стратегий называется решением игры .

Принцип оптимальности, лежащий в основе выбора игроками своих стратегий, называется принципом минимакса . В соответствии с этим принципом (или минимаксным критерием разумности поведения ) каждый способ действия оценивается по наихудшему для него исходу и оптимальным является способ, приводящий к наилучшему из наихудших результатов.

Рассмотрим матрицу игры.

Так, матрица имеет седловую точку , так как цифра 7 является минимумом второй строки и максимумом первого столбца. Следовательно, оптимальной стратегией игрока I является максиминная , а игрока II – минимаксная . Значение игры .

Выбрав свою оптимальную стратегию, игрок I может быть уверен, что он получит по меньшей мере 7, а игрок II, выбрав свою оптимальную стратегию, не допустит, чтобы игрок I получил больше 7. Эти стратегии и составляют решение игры с седловой точкой.

Решение игры с седловой точкой обладает таким свойством: если игроки придерживаются своих оптимальных стратегий, то выигрыш равен значению игры. Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, а другой отклоняется от нее, то он только теряет в игре и ни в коем случае не может увеличить свой выигрыш. При этом наличие у любого игрока сведений о том, что другой избрал свою оптимальную стратегию, не служит основанием для выбора какой-либо иной, кроме оптимальной (минимаксной или максиминной ), стратегии. Пара оптимальных стратегий в игре с седловой точкой создает ситуацию равновесия, и любое отклонение от оптимальной стратегии приводит игрока, применяющего неоптимальную стратегию, к невыгодным последствиям. Так, для рассматриваемой игры наличие информации у игрока о том, что игрок I выбрал оптимальную стратегию , не влияет на выбор им своей оптимальной стратегии . В противном случае игрок II даст возможность игроку I выиграть 9 вместо 7.