Мастер - класс «Производная функции в заданиях ЕГЭ. Производная в заданиях ЕГЭ Задания В9 и В15 Грук Любовь Владимировна учитель математики Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: повторение и обобщение.
Форма урока: урок-консультация.
Цели урока:
- обучающая : повторить и обобщить теоретические знания по темам: “Геометрический смысл производной” и “Применение производной к исследованию функций”; рассмотреть все типы задач В8, встречающиеся на ЕГЭ по математике; предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач; научить заполнять экзаменационный бланк ответов;
- развивающая : способствовать развитию общения как метода научного познания, смысловой памяти и произвольного внимания; формированию таких ключевых компетенций, как сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей;
- воспитательная : развивать у обучающихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах); способствовать развитию потребности к самообразованию.
Технологии: развивающего обучения, ИКТ.
Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, групповая.
Учебно-методическое обеспечение:
1. Алгебра и начала математического анализа.11 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / (Ю. М. Колягин, М.В.Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин); под редакцией А. Б. Жижченко. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2011.
2. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семёнов, И.В. Ященко и др. ; под редакцией А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, 2011.
3. Открытый банк заданий.
Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика с установленной на него презентацией, для всех обучающихся распечатка памятки (Приложение 1) и оценочный лист (Приложение 2) .
Предварительная подготовка к уроку: в качестве домашнего задания обучающимся предлагается повторить по учебнику теоретический материал по темам: “Геометрический смысл производной”, “Применение производной к исследованию функций”; класс разбивается на группы (по 4 человека), в каждой из которых обучающиеся разных уровней.
Пояснение к уроку: данный урок проводится в 11 классе на этапе повторения и подготовки к ЕГЭ. Урок нацелен на повторение и обобщение теоретического материала, на применение его при решении экзаменационных задач. Продолжительность урока - 1,5 часа.
Данный урок не прикреплён к учебнику, поэтому может проводиться при работе по любому УМК. Также этот урок можно разбить на два отдельных и провести их как итоговые уроки по рассматриваемым темам.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Постановка целей урок.
III. Повторение по теме “Геометрический смысл производной”.
Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №3-7)
Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды №8-17)
IV. Самостоятельная работа 1.
Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды№18-26), свои ответы заносят в оценочный лист. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.242, 306-324 (дополнительные задания оцениваются отдельно).
V. Взаимопроверка.
Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд №27)
VI. Коррекция знаний.
VII. Повторение по теме “Применение производной к исследованию функций”
Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №28-30)
Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды № 31-33)
VIII. Самостоятельная работа 2.
Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды №34-46), свои ответы заносят в бланк ответов. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.243-305 (дополнительные задания оцениваются отдельно).
IX. Взаимопроверка.
Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд № 47).
X. Коррекция знаний.
Обучающиеся снова работают в своих группах, обсуждают решение, исправляют ошибки.
XI. Подведение итогов.
Каждый ученик подсчитывает свои баллы и выставляет в оценочный лист оценку.
Обучающиеся сдают учителю оценочный лист и решение дополнительных задач.
Каждый ученик получает памятку (слайд №53-54).
XII. Рефлексия.
Обучающимся предлагается оценить свои знания, выбрав одну из фраз:
- У меня всё получилось!!!
- Надо решить ещё пару примеров.
- Ну кто придумал эту математику!
XIII. Домашнее задание.
Для домашней работы учащимся предлагается выбрать для решения задания из сборника , стр. 242-334, а также из открытого банка заданий.
Цели урока:
Учебные: Повторить теоретические сведения по теме «Применение производной» обобщить, закрепить и улучшить знания по данной теме.
Научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач.
Рассмотреть методы решения заданий ЕГЭ, связанные с понятием производной базового и повышенного уровня сложности.
Воспитательные:
Обучение навыкам: планирование деятельности,работы в оптимальном темпе,работы в группе, подведение итогов.
Развивать умение оценивать свои способности,умение контактировать с товарищами.
Воспитывать чувства ответственности и сопереживания.Способствовать воспитанию умения работать в команде; умения.. относится к мнению одноклассников.
Развивающие: Уметь оформлять ключевые понятия изучаемой темы. Развивать навыки работы в группе.
Тип урока: комбинированный:
Обобщение,закрепление навыков применение свойств элементарных функций,применение уже сформированных знаний, умений и навыков применение производной в нестандартных ситуациях.
Оборудования: компьютер,проектор,экран,раздаточный материал.
План урока:
1. Организационная деятельность
Рефлексия настроения
2. Актуализация знаний учащегося
3. Устная работа
4. Самостоятельная работа в группах
5. Защита выполненных работ
6. Самостоятельная работа
7. Домашние задание
8. Итог урока
9. Рефлексия настроения
Ход урока
1. Рефлексия настроения.
Ребята,доброе утро.Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показываю изображение солнца)!
А какое у вас настроение?
У вас на столе лежат карточки с изображениями солнца,солнце за тучей и тучи.Покажите какое у вас настроение.
2. Анализируя результаты пробных экзаменов,а так же результаты итоговой аттестации последних лет,можно сделать вывод о том,что с заданиями математического анализа,из работы ЕГЭ справляются не более 30%-35% выпускников.Вот и в нашем классе по результатам тренировочных и диагностических работ верно выполняют их не все. Этим и обусловлен наш выбор.Будем отрабатывать навык применения производной при решении задач ЕГЭ.
Помимо проблем итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения,в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы дальнейшем,насколько оправданы как затраты времени,так и здоровья на изучение этой темы.
Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем ее? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?
Сообщение ученицы 3 минуты -
3. Устная работа.
4. Самостоятельная работа в группах (3 группы)
Задание 1 группы
) В чем заключается геометрический смысл производной?
2) а) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
б) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ 1 группы:
1) Значение производной функции в точке x=x0 равно условному коэффициэнту касательной,проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х0.Нулевой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной (или, другими словами) тангенсу угла образованного касательной и.. направлением оси Оx)
2) А)f1(x)=4/2=2
3) Б)f1(x)=-4/2=-2
Задание 2 группы
1) В чем заключается физический смысл производной?
2) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)=-t2+8t-21, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t -время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3 с.
3) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)= ½*t2-t-4, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Ответ 2 группы:
1) Физический (механический) смысл производной состоит в следующем.
Если S(t) закон прямоленейного движения тела,то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:
V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2
3) X(t)=1/2t^2-t-4
Задание 3 группы
1) Прямая y= 3x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2+2x-7. Найдите абсциссу точки касания.
2) На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции f(x) положительна.
Ответ 3 группы:
1) Т.к прямая y=3x-5 паралельна касательной то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямойy=3x-5,т.е, k=3.
Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3
2) Целые точки -это точки с целочисленными значениями абсцисс.
Производная функция f(x) положительна,если функция возрастает.
Вопрос:Что вы можете сказать о производной функции,которую описывает поговорка «Чем дальше в лес,тем больше дров»
Ответ: Производная положительна на всей области определения,т.к эта функция - монотонно возрастает
6. Самостоятельная работа (на 6 вариантов)
7. Домашнее задание.
Тренировочная работа Ответы:
Итог урока.
«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись - радовать глаз, поэзия - пробуждать чувства, философия - удовлетворять потребности разума, инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей.»
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Спасибо за работу!
В задании №13 ЕГЭ по математике базового уровня придется продемонстрировать умения и знания одного из понятий поведения функции: производных в точке или скоростей возрастания или убывания. Теория к этому заданию будет добавлена чуть позже, но это не помешает нам подробно разобрать несколько типовых вариантов.
Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике базового уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Алгоритм выполнения:
- Выбрать интервал времени, на котором температура падала.
- Приложить линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
Решение:
Выберем интервал времени, на котором температура падала. Этот участок видно не вооруженным глазом, он начинается в 8 мин от момента запуска двигателя.
Приложим линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
Ниже линейки окажется участок, соответствующий интервалу времени 0 – 1 мин.
С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.
Опустим из точек, соответствующих 40°С и 80°С перпендикуляры на график, а из полученных точек опустим перпендикуляры на ось времени.
Видим, что этому температурному интервалу соответствует интервал времени 3 – 6,5 мин. То есть из приведенных в условии 3 – 6 мин.
Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.
Второй вариант задания
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ | ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ |
Решение:
Проанализируем график функции А. Если Функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.
Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. В точке максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 3.
Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 4. Точка максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.
Сначала функция В возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. Точка максимума функции x = 1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.
Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 1.
Ответ: 3421.
Третий вариант задания
Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ | ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ |
Алгоритм выполнения для каждой из функций:
- Определить промежутки возрастания и убывания функций.
- Определить точки максимума и точки минимума функций.
- Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.
Решение:
Проанализируем график функции А.
Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.
Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 3 и 4. В точке максимума функции x=0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.
Проанализируем график функции Б.
Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x=-1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.
Проанализируем график функции В.
Сначала функция В убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x = 0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 1.
Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 3.
Ответ: 4213.
Вариант четырнадцатого задания 2017
На рисунке изображен график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. В правом столбце указаны значения производной в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
ТОЧКИ
А
В
С
D
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2
Вспомним, что означает производная, а именно ее значение в точке - значение функции производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициенту) касательной.
В ответах у нас есть два положительных, и два отрицательных варианта. Как мы помним, если коэффициент прямой (графика y = kx+ b ) положительный - то прямая возрастает, если же он отрицательный - то прямая убывает.
Возрастающих прямых у нас две - в точке A и D. Теперь вспомним, что же означает значение коэффициента k?
Коэффициент k показывает, насколько быстро возрастает или убывает функция (на самом деле коэффициент k сам является производной функции y = kx+ b).
Поэтому k = 2/3 соответствует более пологой прямой - D, а k = 3 - A.
Аналогично и в случае с отрицательными значениями: точке B соответствует более крутая прямая с k = - 4, а точке С - -1/2.
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5">
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-1;17). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. f (x)
0 на промежутке, то функция f(x)" title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)" class="link_thumb"> 8 На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке Ответ: 2 0 на промежутке, то функция f(x)"> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке Ответ: 2"> 0 на промежутке, то функция f(x)" title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)"> title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)">
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-9; 2). В какой точке отрезка -8; -4 функция f(x) принимает наибольшее значение? На отрезке -8; -4 f (x)
Функция y = f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, …, х 7 те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек. Ответ: 3 Точки х 1, х 4, х 6 и х 7 – точки экстремума. В точке х 4 не существует f (x)
Литература 4 Алгебра и начала анализа класс. Учебник для общеобразовательных учреждений базовый уровень / Ш. А. Алимов и другие, - М.: Просвещение, Семенов А. Л. ЕГЭ: 3000 задач по математике. – М.: Издательство «Экзамен», Генденштейн Л. Э., Ершова А. П., Ершова А. С. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами для 7-11 классов. – М.: Илекса, Электронный ресурс Открытый банк заданий ЕГЭ.
Геометрический смысл производной Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой (касательной) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку, то верно равенство Уравнение прямой
Х у Если α 0. Если α > 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k title="х у Если α 0. Если α > 90°, то k
Х у Задание 1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х =
Y x x0x На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0. Ответ: -0,25
На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В =…