Пересечение двух прямых. Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми

Перпендикулярная прямая

Это задача наверное одна из самых популярных и востребованных в школьных учебниках. Задачи, основанные на эту тему многообразны. Это и определение точки пересечения двух прямых, это и определение уравнения прямой, проходящяя через точку на исходной прямой под каким либо углом.

Эту тему мы раскроем, используя в своих вычислениях данные полученные с помощью

Именно там было рассмотрено преобразование общего уравнения прямой, в уравнение с угловым коэффициентом и обратно, и определения остальных парметров прямой по заданным условиям.

Что же нам не хвататет для того, что бы решать те задачи, которым посвящена эта страница?

1. Формулы вычисления одного из углов между двумя пересекающимися прямыми.

Если мы имеем две прямые которые заданы уравнениями:

то один из углов вычисляется так:

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящяя через заданную точку

Из формулы 1, мы можем увидеть два пограничных состояния

а) когда тогда и следовательно эти две заданные прямые паралельны (или совпадают)

б) когда , тогда , и следовательно эти прямые перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.

Какие могут быть исходные данные для решения подобных задач, кроме заданной прямой?

Точка на прямой и угол под которым вторая прямая его пересекает

Второе уравнение прямой

Какие же задачи может позволить решить бот?

1. Заданы две прямые (явным или не явным образом например по двум точкам). Вычислить точку пересечения и углы по которыми они пересекаются.

2. Задана одна прямая, точка на прямой и один угол. Определить уравнение прямой, перескающую заданную под указанным углом

Примеры

Две прямые заданы уравнениями. Найти точку пересечения этих прямых и углы под которым они пересекаются

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Получаем следующий результат

Уравнение первой прямой

y = 2.2 x + (1.2)

Уравнение второй прямой

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Угол пересечения двух прямых(в градусах)

-42.357454705937

Точка пересечения двух прямых

x = -3.5

y = -6.5

Не забудьте что параметры двух линий разделяются запятой, а параметры каждой линии точкой с запятой.

Прямая проходит через две точки (1:-4) и (5:2) . Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (-2:-8) и пересекает исходную прямую под углом 30 градусов.

Одна прямая нам известна, так как известны две точки через которые она проходит.

Осталось определить уравнение второй прямой. Одна точка нам известна, а вместо второй указан угол, под которым первая прямая пересекает вторую.

Вроде все известно, но тут главное не ошибится. Речь идет об угле(30 градусов) не между осью абсцисс и линией, а между первой и второй линией.

Для этого мы постим так. Определим параметры первой линии, и узнаем под каким углом она пересекает ось абсцисс.

line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = -6

Коэффициент B = 4

Коэффициент C = 22

Коэффициент a= 3.6666666666667

Коэффициент b = -5.5

Коэффициент k = 1.5

Угол наклона к оси (в градусах) f = 56.309932474019

Коэффициент p = 3.0508510792386

Коэффициент q = 2.5535900500422

Расстояние между точками=7.211102550928

Видим что первая линия пересекает ось под углом 56.309932474019 градусов.

В искходных данных не сказано как именно пересекает вторая линия, первую. Можно ведь построить две линии удовлетворяющих условиям, первая повернутая на 30 градусов ПО часовой стрелке, а вторая на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке.

Давайте их и посчитаем

Если вторая линия повернута на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке, то вторая линия будет иметь градус пересечения с осью абсцисс 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градусов

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Параметры прямой линии по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = 23.011106998916

Коэффициент B = -1.4840558255286

Коэффициент C = 34.149767393603

Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b = 1

Коэффициент a= -1.4840558255286

Коэффициент b = 23.011106998916

Уравнение прямой c угловым коэфициентом y = kx + b

Коэффициент k = 15.505553499458

Угол наклона к оси (в градусах) f = 86.309932474019

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p = -1.4809790664999

Коэффициент q = 3.0771888256405

Расстояние между точками=23.058912962428

Расстояние от точки до прямой li =

то есть наше уравнение второй линии есть y=15.505553499458x + 23.011106998916

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решениемсистемы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение одной прямой.
2) Составить уравнение второй прямой.
3) Выяснить взаимное расположение прямых.
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Пример 13.

Найти точку пересечения прямых

Решение : Точку пересечения целесообразно искать аналитическим методом. Решим систему:

Ответ :

П.6.4. Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точкидо прямой выражается формулой

Пример 14.

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно - аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

П.6.5. Угол между прямыми.

Пример 15.

Найти угол между прямыми .

1. Проверяем перпендикулярны ли прямые:

Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2. Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

Таким образом:

Ответ :

Кривые второго порядка. Окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае это уравнение имеет вид:

где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, B, С отлично от нуля.

1.Окружностью называется множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М 0 (х 0 , у 0) постоянно и равно R. Точка М 0 называется центром окружности, а число R – ее радиусом

– уравнение окружности с центром в точке М 0 (х 0 , у 0) и радиусом R.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:

– каноническое уравнение окружности.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса .

– каноническое уравнение эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается: , . Так как , то < 1.

Следовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при , получается окружность, уравнение которой есть

х 2 + у 2 = а 2 .

Гипербола

Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами , есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).

Пусть F 1 , F 2 – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с, параметром параболы).

– каноническое уравнение параболы.

Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0у. Уравнение описывает параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.

Пусть даны две прямые и требуется найти их точку пересечения. Так как эта точка принадлежит каждой из двух данных прямых, то ее координаты должны удовлетворять как уравнению первой прямой, так и уравнению второй прямой.

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, следует решить систему уравнений

Пример 1. Найти точку пересечения прямых и

Решение. Координаты искомой точки пересечения мы найдем, решив систему уравнений

Точка пересечения М имеет координаты

Покажем, как построить прямую по ее уравнению. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Чтобы построить каждую из этих точек, мы задаемся произвольным значением одной из ее координат, а затем из уравнения находим соответствующее значение другой координаты.

Если в общем уравнении прямой оба коэффициента при текущих координатах не равны нулю , то для построения этой прямой лучше всего находить точки ее пересечения с осями координат.

Пример 2. Построить прямую .

Решение. Находим точку пересечения данной прямой с осью абсцисс. Для этого решаем совместно их уравнения:

и получаем . Таким образом, найдена точка М (3; 0) пересечения данной прямой с осью абсцисс (рис. 40).

Решая затем совместно уравнение данной прямой и уравнение оси ординат

мы находим точку пересечения прямой с осью ординат. Наконец, строим прямую по ее двум точкам М и

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Определение 1

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат О х у, то задаются две прямые a и b . Прямой a соответствует общее уравнение вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , для прямой b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда M 0 (x 0 , y 0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить, будет ли точка М 0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M 0 (x 0 , y 0) считается их точкой пересечения.

Пример 1

Даны две пересекающиеся прямые 5 x - 2 y - 16 = 0 и 2 x - 5 y - 19 = 0 . Будет ли точка М 0 с координатами (2 , - 3) являться точкой пересечения.

Решение

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5 · 2 - 2 · (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 - 5 · (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Оба равенства верные, значит М 0 (2 , - 3) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами (2 , - 3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пример 2

Пересекутся ли прямые 5 x + 3 y - 1 = 0 и 7 x - 2 y + 11 = 0 в точке M 0 (2 , - 3) ?

Решение

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5 · 2 + 3 · (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 - 2 · (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7 x - 2 y + 11 = 0 . Отсюда имеем, что точка М 0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М 0 - это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (- 1 , 2) .

Ответ: точка с координатами (2 , - 3) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , расположенных в О х у. При обозначении точки пересечения М 0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Из определения очевидно, что М 0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Иными словами это и есть решение полученной системы A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Значит, для нахождения координат точки пересечения, необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Пример 3

Заданы две прямые x - 9 y + 14 = 0 и 5 x - 2 y - 16 = 0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Решение

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 . Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x , подставляется выражение во второе:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 · 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M 0 (4 , 2) является точкой пересечения прямых x - 9 y + 14 = 0 и 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Пример 4

Определить координаты точек пересечения прямых x - 5 = y - 4 - 3 и x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R преобразуется таким образом:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

После чего беремся за уравнение канонического вида x - 5 = y - 4 - 3 и преобразуем. Получаем, что

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 · x = - 5 · y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · (- 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Ответ: M 0 (- 5 , 1) .

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тогда вместо значения x подставляется x = x 1 + a x · λ и y = y 1 + a y · λ , где получим λ = λ 0 , соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Пример 5

Определить координаты точки пересечения прямой x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x - 5 = y - 4 - 3 .

Решение

Необходимо выполнить подстановку в x - 5 = y - 4 - 3 выражением x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ , тогда получим:

4 + 9 · λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

При решении получаем, что λ = - 1 . Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x - 5 = y - 4 - 3 . Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ = - 1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Ответ: M 0 (- 5 , 1) .

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Пример 6

Даны прямые x 3 + y - 4 = 1 и y = 4 3 x - 4 . Определить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая заданные уравнения, получаем 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 и 4 3 x - y - 4 = 0 .

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x 3 + y - 4 = 1 и y = 4 3 x - 4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Пример 7

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 и 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Решение

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n 1 → = (2 , 2 - 3) является нормальным вектором прямой 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , тогда вектор n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - нормальный вектор для прямой 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n 1 → = (2 , 2 - 3) и n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Получим равенство вида 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Оно верное, потому как 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Пример 8

Найти координаты пересечения заданных прямых 2 x - 1 = 0 и y = 5 4 x - 2 .

Решение

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M 0 (1 2 , - 11 8) .

Ответ: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости О х у z уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а прямая b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Пример 9

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Решение

Составляем систему x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 и расширенную T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Определяем ранг матрицы по Гауссу.

Получаем, что

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3 . Тогда система уравнений x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Решение системы x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 · 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Значит, имеем, что точка пересечения x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 имеет координаты (1 , - 3 , 0) .

Ответ: (1 , - 3 , 0) .

Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Пример 10

Заданы уравнения прямых x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 и x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Найти точку пересечения.

Решение

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . решаем ее методом Гаусса:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Пример 11

Заданы две прямые x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R и x 2 = y - 3 0 = z 5 в О х у z . Найти точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Находим координаты 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3 , а базисный минор 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 , значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x = - 2 y = 3 z = - 5 . Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (- 2 , 3 , - 5) .

Ответ: (- 2 , 3 , - 5) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Точка пересечения прямых

Пусть нам даны две прямые, заданные своими коэффициентами и . Требуется найти их точку пересечения, или выяснить, что прямые параллельны.

Решение

Если две прямые не параллельны, то они пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, достаточно составить из двух уравнений прямых систему и решить её:

Пользуясь формулой Крамера, сразу находим решение системы, которое и будет искомой точкой пересечения :

Если знаменатель нулевой, т.е.

то система решений не имеет (прямые параллельны и не совпадают) или имеет бесконечно много (прямые совпадают ). Если необходимо различить эти два случая, надо проверить, что коэффициенты прямых пропорциональны с тем же коэффициентом пропорциональности, что и коэффициенты и , для чего достаточно посчитать два определителя, если они оба равны нулю, то прямые совпадают:

Реализация

struct pt {double x, y;}; struct line {double a, b, c;}; constdouble EPS =1e-9; double det (double a, double b, double c, double d){return a * d — b * c;} bool intersect (line m, line n, pt & res){double zn = det (m.a, m.b, n.a, n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

Урок из серии «Геометрические алгоритмы »

Здравствуйте, дорогой читатель.

Совет 1: Как найти координаты точки пересечения двух прямых

Напишем еще три новые функции.

Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка . В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем функцию – VektorMulti().

Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения “<” (строго меньше) для вещественных чисел.

Задача1. Два отрезка заданы своими координатами. Составить программу, которая определяет, пересекаются ли эти отрезки , не находя точку пересечения.

Решение
. Второй задан точками .

Рассмотрим отрезок и точки и .

Точка лежит слева от прямой , для нее векторное произведение > 0, так как векторы положительно ориентированы.

Точка расположена справа от прямой, для нее векторное произведение < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки и , лежали по разные стороны от прямой , достаточно, чтобы выполнялось условие < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка и точек и .

Итак, если , то отрезки пересекаются.

Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti().

ax, ay – координаты первого вектора,

bx, by – координаты второго вектора.

Program geometr4; {Пересекаются ли 2 отрезка?} Const _Eps: Real=1e-4; {точность вычслений} var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; {Строго меньше} begin RealLess:= b-a> _Eps end; {RealLess}function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; {ax,ay — координаты a bx,by — координаты b } begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; {Пересекаются ли отрезки?} begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); if RealLess(v1*v2,0) and RealLess(v3*v4,0) {v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

Результаты выполнения программы:

Введите координаты отрезков: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
Да.

Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами.

На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника.

Уважаемый читатель.

Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать.

С уважением, Вера Господарец.

Пусть даны два отрезка. Первый задан точками P 1 (x 1 ;y 1) и P 2 (x 2 ;y 2) . Второй задан точками P 3 (x 3 ;y 3) и P 4 (x 4 ;y 4) .

Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:

Рассмотрим отрезок P 3 P 4 и точки P 1 и P 2 .

Точка P 1 лежит слева от прямой P 3 P 4 , для нее векторное произведение v 1 > 0 , так как векторы положительно ориентированы.
Точка P 2 расположена справа от прямой, для нее векторное произведение v 2 < 0 , так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки P 1 и P 2 лежали по разные стороны от прямой P 3 P 4 , достаточно, чтобы выполнялось условие v 1 v 2 < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка P 1 P 2 и точек P 3 и P 4 .

Итак, если v 1 v 2 < 0 и v 3 v 4 < 0 , то отрезки пересекаются.

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

где:
ax , ay — координаты первого вектора,
bx , by — координаты второго вектора.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки:P 1 с координатами (x 1 ;y 1) и P 2 с координатами (x 2 ; y 2) .

Пересечение прямых

Соответственно вектор с началом в точке P 1 и концом в точке P 2 имеет координаты (x 2 -x 1 , y 2 -y 1) . Если P(x, y) – произвольная точка на прямой, то координаты вектора P 1 P равны (x — x 1 , y – y 1).

С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов P 1 P и P 1 P 2 можно записать так:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0 , т.е. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
или
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

Последнее уравнение переписывается следующим образом:
ax + by + c = 0, (1)
где
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Как найти точку пересечения прямых?
Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых:

ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)

Ввести обозначения:

Здесь D – определитель системы, а D x ,D y — определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если D ≠ 0 , то система (2) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D , которые называются формулами Крамера. Небольшое напоминание, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.