Что пропорция основное свойство пропорции. Задачи на пропорции. Как решить задачу с помощью пропорции
Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a: b = c: d , или, в других обозначениях, равенство
Если a : b = c : d , то a и d называют крайними , а b и c - средними членами пропорции.
От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.
Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:
В пропорции
произведение крайних членов равно произведению средних
Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.
Например,
То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе
которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины
, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции
(независимо от того, где эта неизвестная величина стоит). 
Задача 1.
Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
Решение:
Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.
Заполним таблицу: 
Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.
Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.
Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:
Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д
Задача 2.
Перевести в радианы.
Решение:
Мы знаем, что . Заполним таблицу:
Ответ:
Задача 3.
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?
Решение:
Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .
Составим таблицу:
Откуда площадь круга – есть .
Ответ:
Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение:
Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.
Заполняем таблицу: 
Откуда получаем, что все поле составляет (га).
Ответ:
А следующая задача – с засадой.
Задача 5.
Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч ?
Решение:
Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:
время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.
В чем ошибка рассуждений?
До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу , то есть рост одной величины во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны .
Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.
Решение:
Рассуждаем так:
Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.
То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.
Ответ: .
Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.
Задача 1 . Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?
Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:
3,3: 300 или х: 500.
Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений ):
х=(3,3· 500): 300;
х=5,5. Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см .
Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:
или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.
Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.
Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?
Решение.
Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.
5: 100 или х: 98. Получаем пропорцию:
5: 100 = х: 98.
х=(5· 98): 100;
х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды .
Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?
Решение.
Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:
16,8: 21 или х: 35. Получаем пропорцию:
16,8: 21=х: 35.
Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35 ) и делим на известный средний член (21 ). Сократим дробь на 7 .
Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10 , чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).
В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.
Таким образом, сам смысл термина «отношение » был несколько иной, чем термина «деление »: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление » и «отношение » по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п. При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах .
Пример
В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?
400 – общее число товара
Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.
200: 400 = 0,5 или 50%
В математике делимым принято называть предыдущий член отношения , а делителем – последующий член отношения . В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.
Два равных отношения образуют пропорцию
В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения . К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:
1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
200: 400 = 0,5 или 50%
2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
300: 600 = 0,5 или 50%
В данном случае имеется пропорция , которую можно записать следующим образом:
| = |
Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции , а четыреста и триста – средними членами пропорции .
Произведение средних членов пропорции
Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:
Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;
200 × 600 = 120 000
Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.
300 × 400 = 120 000
Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.
Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции , то:
Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.
| 200 = |
Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.
Основные свойства пропорций
- Обращение пропорции. Если a : b = c : d , то b : a = d : c
- Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d , то ad = bc .
- Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d , то
- Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d , то
- Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d , то
Составные (непрерывные) пропорции
Историческая справка
Литература
- ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - пер. с голл. И. Н. Веселовского - М.: ГИФМЛ, 1959
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Смотреть что такое "Пропорция" в других словарях:
- (лат., от pro для, и portio часть, порция). 1) соразмерность, согласование. 2) отношение частей между собою и к их целому. Отношение величин между собою. 3) в архитектуре: удачные размеры. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОПОРЦИЯ, пропорции, жен. (книжн.) (лат. proportio). 1. Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. 2. Равенство двух… … Толковый словарь Ушакова
Отношение, соотношение; соразмерность. Ant. диспропорция Словарь русских синонимов. пропорция см. соотношение Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов
Жен., франц. соразмерность; величина или количество, отвечающее чему либо; | мат. равенство содержания, одинаковые отношения двойной четы цифры; арифметическая, если второе число на столько же более или менее, первого, на сколько четвертое против … Толковый словарь Даля
- (лат. proportio) в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b =c/d … Большой Энциклопедический словарь
ПРОПОРЦИЯ, в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b=с/d. Непрерывной пропорцией называют группу из трех или более величин, каждая из которых имеет одно и то же отношение к последующей величине, как, например, в… … Научно-технический энциклопедический словарь
ПРОПОРЦИЯ, и, жен. 1. В математике: равенство двух отношений (в 3 знач.). 2. Определённое соотношение частей между собой, соразмерность. П. в частях здания. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Англ. proportion; нем. Proportion. 1. Соразмерность, определенное соотношение частей целого между собой. 2. Равенство двух отношений. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
пропорция - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN ratedegreeDdegdrratio … Справочник технического переводчика
ПРОПОРЦИЯ - равенство двух (см.), т.е. а: b = с: d, где а, b, с, d члены пропорции, причём а и d крайние, b и с средине. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: ad = bс … Большая политехническая энциклопедия
И; ж. [лат. proportio] 1. Соразмерное соотношение частей между собой. Соблюсти все архитектурные пропорции. Идеальная п. частей тела. 2. Определённое количественное соотношение между чем л. Нарушить пропорцию. Смешав ягоды с песком в пропорции… … Энциклопедический словарь
Головач Александр Григорьевич
ГУО «Средняя школа №18 г. Бреста»
Тема: Пропорция. Основное свойство пропорции. (6 класс)
Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний
Образовательная: познакомить учащихся с понятиями: пропорция и члены пропорции; научить чтению пропорции и составлению пропорций из отношений; познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.
Развивающая: активизировать познавательную деятельность учащихся; развивать память, логическое мышление;
Воспитательная: воспитывать уважение к труду, работе в коллективе.
Литература: Математика: учеб. пособие для 6 кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова [и др.]; под ред. Л. Б. Шнепермана. – Минск: Нац. ин-т образования, 2010. - 320 с.: ил.
Оборудование: учебник, доска, мел, презентация, компьютер, проектор.
Ход урока:
Организационный момент (2 мин)
Проверка домашнего задания (3 мин)
Актуализация знаний (8 мин)
Изучение нового материала (12 мин)
Физкультминутка (2 мин)
Первичное закрепление (13 мин)
Задание на дом (1 мин)
Рефлексия. Подведение итого. (4 мин)
1. Организационный момент
Организую внимание учащихся. Предлагаю сесть. Отмечаю отсутствующих на уроке учеников.
Здороваются. Садятся.
2. Проверка домашнего задания
Сегодня у нас на уроке новая тема «Пропорция. Основное свойство пропорции».
И цели нашего урока: познакомиться с определение «Пропорция»; из каких элементов состоит пропорция; изучить основное свойство пропорций.
Но перед тем, как приступить к изучению новой темы, давайте проверим домашнее задание.
3. Актуализация знаний
/*фронтальный опрос*/
На прошлом уроке у нас была тема «Отношение чисел и величин».
1. Давайте вспомним, что же называется отношением?
2. А как называются сами эти числа или величины?
3. Скажите, что будет с отношением, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля?
А теперь давайте вспомним, как читаются отношения и найдем их значение.
1. Частное двух чисел (или двух величин) называется отношением.
2. Эти числа или величины называются членами отношения.
3. Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.
1. Отношение числа 25 к 5 равно 5.
2. Отношение числа 33 к 11 равно 3.
3. Отношение числа 6 к 14 равно .
4. Отношение числа 12 к 4 равно 3.
5. Отношение числа 30 к 70 равно
6. Отношение числа 55 к 11 равно 5.
4. Изучение нового материала
Ребята скажите, под какими номерами у наших отношений получились одинаковые значения.
У нас получились записи равных отношений:
Так вот равенство двух отношений называют пропорцией .
Пропорцию записывают:
или
- отношение a к b равно отношению c к d ;
- a относится в b , как c относится к d ;
- a , деленное на b , равно c , деленное на d .
Т.к. в записи числа a и d стоят с краю, то их принято называть крайними членами пропорции . Ну а т.к. числа b и c находятся в середине, то и называются они соответствующе – средними членами пропорции .
Эти названия сохраняются и тогда, когда пропорция записана в виде
.
Давайте вернемся к получившимся у нас пропорциям и назовем их крайние и средние члены.
А теперь немного посчитаем. Перемножьте в наших пропорциях крайние и средние члены
Какой вывод можно сделать?
То
Верно. Это утверждение называется основным свойством пропорции .
Отношение 1 равно отношению 6.
Отношение 2 равно отношению 4.
Отношение 3 равно отношению 5.
Крайние 25 и 11, средние 5 и 55.
Крайние 33 и 4, средние 11 и 12.
Крайние 6 и 70, средние 14 и 30.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
5. Физкультминутка
Ну а теперь немного отдохнем. Проведем физкультминутку для глаз. Т.к. уже зима, то на экране будут появляться снежинки, а ваша задача внимательно следить за их движениями.
6. Первичное закрепление
А теперь с новыми силами начнем выполнение заданий.
№ 5.27 (устно)
5.29 (1;3)
5.30 (1;3)
5.31 (1;3) (доп. 5.32)
№ 5.27
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
№5.29 (1;3)
Составьте пропорцию, если m и n – ее крайние члены, а x и y – средние:
1) ;
